為什么這個卡特彼勒算法O（n ^ 2）不是O（n ^ 3）？

Question

有人可以解釋為什么這個算法是O(n^2) ？ 根據這個 ，它是O（n ^ 2）。 我認為它是O（n ^ 3）的原因是因為外環（對於x）運行n次，內環（對於y）運行n-1次，並且在最壞的情況下例如A = [8, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107] ，while循環（對於z）將運行n-2次，因此整體為O(n^3) 。

為了完整性， A是具有正元素的排序數組，如果A[x] + A[y] > A[z] ，則三元組（x，y，z）是三角形。 找出可以從A構建多少個三角形。

        int TrianglesCount(int[] A)
        {
            int result = 0;
            for (int x = 0; x < A.Length; x++)
            {
                int z = x + 2;
                for (int y = x + 1; y < A.Length; y++)
                {
                    while (z < A.Length && A[x] + A[y] > A[z])
                        z++;
                    result += z - y - 1;
                }
            }
            return result;
        }

Answer 1

讓我們仔細看看下面的代碼片段

int z = x + 2;
for (int y = x + 1; y < A.Length; y++)
{
   while (z < A.Length && A[x] + A[y] > A[z])
      z++;
   result += z - y - 1;
}

for循環顯然是執行A.lenght - (x+1)次，即O(n) 。 然而，內部while循環最多執行A.length - (x+2)次，因為每次執行都會增加z值，並且它最多可以遞增A.length - (x+2)次，直到while條件失敗了。 同樣，這至多是O(n) 。 因此，該片段的總時間復雜度可以由O(n) + O(n) = O(n)限定。

由於針對x每個O(n)值運行片段，因此總時間復雜度為O(n^2) 。

在KMP算法中使用類似的想法進行字符串匹配。

Answer 2

您應該注意z在x循環內初始化，而不是y循環。 並且在每次x迭代時， z可以增加最大值A.length - x - 2次。

Answer 3

訣竅在於z in total增加到A.Length：例如，如果我們在第一次迭代中運氣不好：

• x = 0，y = 1，我們得到z從2到A.Length，在隨后的y循環中，z根本不會遞增。

Answer 4

以下是我對此的解釋。

首先，當n很小時，你不能談論復雜性。 復雜性的定義本身表明，當n傾向於無窮大時，復雜性只是“意味着什么”。 例如，具有3個元素的數組上的冒泡排序可能看起來像O（n）。

從這個等式中取出，這是關於你的算法：

變量z在x循環內聲明，而不是y循環，因此每次y循環完成時z都不會重新初始化。 這意味着在x循環的每次傳遞中z將僅增加到A.length。 一旦z達到A.length，它將不再增加，因此它不依賴於y循環。 我希望這個解釋是充分的，現在這個問題對你來說更清楚了。