檢查從一個頂點v到另一個頂點w的所有路徑是否長度相同

Question

我有一個具有n個頂點和m邊的連通圖g 。

可以從兩個方向遍歷每個邊，而在一個方向上遍歷它們的權重為正，在另一個方向上遍歷它們的權重為負。

因此，對於每個權重為w邊u > v ，都存在一個權重為-w的邊v > u 。

我的目標：

對於給定的頂點v ，檢查是否存在返回v的路徑（一個循環），以使該路徑的邊權重之和不等於0 。 如果存在這樣的路徑，則輸出該路徑的最小邊緣數，否則輸出"all cycles are fine" 。

例子：

從v到v所有路徑總和為0的示例。 輸出為"all cycles are fine" ：

有一個示例，其中存在從v到v的路徑，其邊的總和不等於0 。 在此示例中，此路徑的最小邊數為4：

我目前的做法：

問題似乎等同於檢查從給定頂點v到任何其他頂點w所有路徑的長度是否相等，如果為true，則“所有周期都很好”，否則我將輸出最短周期的長度，該長度會破壞條件。 我很難找到一種有效的算法來測試這種情況。

Answer 1

一種檢查是否存在通過頂點A的“錯誤循環”的簡單算法是從A運行BFS，然后查看以不同的成本訪問了至少至少兩次的頂點B。 如果不存在B，則所有循環都是好的，否則循環不好，其大小（直到第一次訪問B的邊緣）+（直到訪問B的邊緣具有不同的成本）。 該BFS最多訪問每個頂點兩次，因此復雜度仍然是線性的。

因此，可以使用圖表中每個頂點的BFS解決此問題。 當然，也許可以提高效率。 適當的大小取決於n和m的大小。