T（0）= 1，T（1）= 0，T（n）= 2 * T（n-2）的遞歸關系

Question

我正在嘗試查找上述表達式的重復關系。

我推斷出：

T（n）= C * T（n-2）

T（n-2）= 2C * T（n-4）

T（n-4）= 3C * T（n-6）

...

T（n）= k / 2C * T（nk）

我被困在這里。 這是正確的方法嗎？ 在簡化方程式中不包含T的簡化遞歸關系是什么？

Answer 1

我寫了一個python程序，發現了這種關系：

def rec(num):
    if num == 0:
        return 1
    elif num == 1:
        return 0
    else:
        return 2 * rec(num - 2)

經過幾次測試，我發現了以下規則：

索引2、3、4、5、6、7、8 ...

結果2，0，4，0，8，0，16 ....

因此，當n = 2k時，結果可能是2 ^（n / 2）&&當n = 2k +1時（k屬於Z）為0

Answer 2

讓我們觀察一下我們擴展此函數m次的行為：

T(n) = 2^2 * T(n - 2*2)
     = 2^3 * T(n - 2*3)
     = 2^4 * T(n - 2*4)
     = ...
     = 2^m * T(n - 2m)

當n為：

• 偶數： n - 2m最終等於零，這意味着最大值為m = n / 2 ，並且T(n) = 2^(n/2)
• 奇數：“最終等於1，這意味着T(n) = 2^(...) * T(1) = 0

如果我們想用一個表達式編寫：

T(n) = (1 - n + floor[n/2]) * 2^(n/2)