在MATLAB中將平面擬合到N維點

Question

我有一組k維度的N個點作為大小為NX k的矩陣。

如何通過這些點找到最佳擬合線？ 該線將是k維的平面（hyerpplane）。 它將具有k系數和一個偏差項。

像fit這樣的現有函數似乎只能用於2維或3維的點。

Answer 1

您可以使用主成分分析將超平面（或任何低維仿射空間）擬合到一組D維數據。 這是將平面擬合到一組3D數據的示例。 這在MATLAB文檔中有更詳細的解釋，但我試圖構建我能做的最簡單的例子。

% generate some random correlated data
D = 3;
mu = zeros(1,D);
sqrt_sig = randn(D);
sigma = sqrt_sig'*sqrt_sig;
% generate 50 points in a D x 50 matrix
X = mvnrnd(mu, sigma, 50)';

% perform PCA
coeff = pca(X');

% The last principal component is normal to the best fit plane and plane goes through mean of X
a = coeff(:,D);
b = -mean(X,2)'*a;

% plane defined by a'*x + b = 0
dist = abs(a'*X+b) / norm(a);
mse = mean(dist.^2)

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編輯：添加了D = 3的結果示例圖。我在這里利用了其他主要組件的正交性。 如果你想要它，只是為了證明飛機確實很適合數據，忽略代碼。

% plot in 3D
X0 = bsxfun(@minus,X,mean(X,2));
b1 = coeff(:,1);    b2 = coeff(:,2);
y1 = b1'*X0;        y2 = b2'*X0;
y1_min = min(y1);   y1_max = max(y1);
y1_span = y1_max - y1_min;
y2_min = min(y2);   y2_max = max(y2);
y2_span = y2_max - y2_min;
pad = 0.2;
y1_min = y1_min - pad*y1_span;
y1_max = y1_max + pad*y1_span;
y2_min = y2_min - pad*y2_span;
y2_max = y2_max + pad*y2_span;
[y1_m,y2_m] = meshgrid(linspace(y1_min,y1_max,5), linspace(y2_min,y2_max,5));
grid = bsxfun(@plus, bsxfun(@times,y1_m(:)',b1) + bsxfun(@times,y2_m(:)',b2), mean(X,2));
x = reshape(grid(1,:),size(y1_m));
y = reshape(grid(2,:),size(y1_m));
z = reshape(grid(3,:),size(y1_m));

figure(1); clf(1);
surf(x,y,z,'FaceColor','black','FaceAlpha',0.3,'EdgeAlpha',0.6);
hold on;
plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),' .');
axis equal;
axis vis3d;

編輯2 ：當我說“主要成分”時，我的措辭有點草率（或者說是完全錯誤的）。 我實際上指的是表達主成分的正交基矢量。

Answer 2

這是一個更簡單的解決方案，它只使用MATLAB的\\運算符 。 我們首先定義k維的平面：

%  0 = a + x(1) * b(1) + x(2) * b(2) + ... + x(k) * 1
k = 8;
a = randn(1);
b = randn(k-1,1);

（注意，我們假設b(k)=1 ，你總是可以將平面參數乘以任意值而不改變平面）。

接下來，我們在此平面內生成N隨機點：

N = 1000;
x = rand(N,k-1);
x(:,k) = -(a + x * b);

...對不起，這不是在飛機上生成隨機點的最佳方法，但這對於此處的演示來說已經足夠了。 添加噪點：

x = x + 0.05*randn(size(x));

為了找到平面的參數，我們求解方程組

%    a + x(1:k-1) * b == -x(k)

在最小二乘意義上。 a和b是那里的未知數。 我們可以將左側重寫為[1,x(1:k-1)] * [a;b] 。 如果我們有一個矩陣方程M*p=v我們可以通過寫p=M\\v求解p：

p = [ones(N,1),x(:,1:k-1)]\(-x(:,k));

disp(['ground truth: [a,b,1] = ',mat2str([a,b',1],3)]);
disp(['estimated   : [a,b,1] = ',mat2str([p',1],3)]);

這給出了輸出：

 ground truth: [a,b,1] = [-1.35 -1.44 -1.48 1.17 0.226 -0.214 0.234 -1.59 1] estimated : [a,b,1] = [-1.41 -1.38 -1.43 1.14 0.219 -0.195 0.221 -1.54 1] 

數據集中的噪點越少或點越多，誤差就越小！