用階梯函數求解微分方程

Question

我試圖解決這個微分方程作為我的任務的一部分。 我無法理解如何在代碼中輸入u的條件。 在下面顯示的代碼中，我隨意提供

u = 5. 


2dx(t)dt=−x(t)+u(t)

5dy(t)dt=−y(t)+x(t)

u=2S(t−5)

x(0)=0

y(0)=0

where S(t−5) is a step function that changes from zero to one at t=5. When it is multiplied by two, it changes from zero to two at that same time, t=5 where S(t−5) is a step function that changes from zero to one at t=5. When it is multiplied by two, it changes from zero to two at that same time, t=5 。

def model(x,t,u):
    dxdt = (-x+u)/2
    return dxdt

def model2(y,x,t):
    dydt = -(y+x)/5
    return dydt

x0 = 0
y0 = 0
u = 5
t = np.linspace(0,40)


x = odeint(model,x0,t,args=(u,))
y = odeint(model2,y0,t,args=(u,))
plt.plot(t,x,'r-')
plt.plot(t,y,'b*')
plt.show()

Answer 1

我不太了解SciPy庫，但是對於文檔中的示例，我會嘗試這樣的事情：

def model(x, t, K, PT)
    """
    The model consists of the state x in R^2, the time in R and the two
    parameters K and PT regarding the input u as step function, where K
    is the infimum of u and PT is the delay of the step.
    """
    x1, x2 = x   # Split the state into two variables

    u = K if t>=PT else 0    # This is the system input

    # Here comes the differential equation in vectorized form
    dx = [(-x1 + u)/2,
          (-x2 + x1)/5]
    return dx

x0 = [0, 0]
K  = 2
PT = 5
t = np.linspace(0,40)

x = odeint(model, x0, t, args=(K, PT))
plt.plot(t, x[:, 0], 'r-')
plt.plot(t, x[:, 1], 'b*')
plt.show()

Answer 2

這里有幾個問題，步進功能只是其中的一小部分。 您可以使用簡單的lambda定義步進函數，然后只需從外部范圍捕獲它，甚至不將其傳遞給您的函數。 因為有時情況並非如此，我們將明確並通過它。 您的下一個問題是要集成的函數中的參數順序。 根據文檔 （y，t，...）。 即，首先是函數，然后是時間向量，然后是其他args參數。 因此，對於第一部分，我們得到：

u = lambda t : 2 if t>5 else 0

def model(x,t,u):
    dxdt = (-x+u(t))/2
    return dxdt

x0 = 0
y0 = 0
t = np.linspace(0,40)


x = odeint(model,x0,t,args=(u,))

轉到下一部分，麻煩的是，你不能將x作為arg提供給y，因為它是特定時間的x(t)值的向量，因此y+x在函數中沒有意義寫了。 如果傳遞x函數而不是x值，則可以從數學類中遵循直覺。 這樣做需要使用您感興趣的特定時間值插入x值（scipy可以處理，沒問題）：

from scipy.interpolate import interp1d
xfunc = interp1d(t.flatten(),x.flatten(),fill_value="extrapolate") 
#flatten cuz the shape is off , extrapolate because odeint will go out of bounds
def model2(y,t,x):
    dydt = -(y+x(t))/5
    return dydt
y = odeint(model2,y0,t,args=(xfunc,))

然后你得到：

@Sven的答案更像是scipy / numpy這樣的矢量編程。 但我希望我的回答能提供一條更清晰的路徑，從你已經知道的工作解決方案。