漸近時間復雜度 O(sqrt(n)log(n)n)

Question

for(int i=1; i*i <= n; i = i+1) {
   for(int j = n; j >= 1; j/4)   {
      for(int k = 1; k <= j; k=k+1) {
         f();
      }
   }
}

為什么這個函數的漸近復雜度是O(n^{3/2}) ？ 我認為，它應該是O(sqrt(n)log(n)n) 。 這與O(sqrt(n)n)嗎？ 然后，它將是O(n^{3/2}) ..

• 外循環是O(sqrt(n)) 。
• 第一個內部循環是O(log(n)) 。
• 第二個內循環是O(n) 。

Answer 1

外部的兩個循環（在i和j ）的邊界取決於n ，但內部循環（在k ）受j限制，而不是n 。

請注意，內部循環迭代了j次； 假設f()是O(1) ，內部循環的成本是O(j) 。

盡管中間循環（在j ）迭代了O(log n)次，但j的實際值是一個以n開頭的幾何級數。 因為這個幾何級數 ( n + n/4 + n/16 + ... ) 總和為4/3*n ，所以中間循環的成本是O(n) 。

由於外循環迭代sqrt(n)次，這使得總成本O(n^(3/2))