算法的運行時間是多少？ 是 O(sqrt(n)) 還是 O(log(n))？

Question

編輯：約束值范圍 [2,1000000000] 和 a<=b

 def sqrtoccurrence(a: Int, b: Int): Int = {
        val sqrtA = Math.ceil(Math.sqrt(a)).toInt
        val sqrtB = Math.floor(Math.sqrt(b)).toInt
        if(sqrtA > sqrtB) 0
        else 1 + sqrtoccurrence(sqrtA, sqrtB)      
      }

是 O(sqrt(n)) 還是 O(log(n))？ 我不擅長計算遞歸運行時間。 我知道它的樹的深度以及遞歸函數被調用的次數。 在這種情況下，常量工作 sqrt 有多大影響，是否可以忽略它？ 但也許我錯了。 幫助很大的解釋。 謝謝

Answer 1

這是我如何推理必要的運行時間。 在a > b的最佳情況下，不需要遞歸，因此它是O(1)操作。 當a <= b使ceil(sqrt(a)) > floor(sqrt(b))可能的唯一方法是a和b的重復sqrt()將它們的差異減小到小於舍入誤差.

在最壞的情況下，我們正在研究大b的重復sqrt()如何“縮小”以滿足小a的終止要求。 因此，我將函數在輸入n上的運行時間描述為：

T(n) = T(sqrt(n)) + C  // where C is O(1)

為了計算必要遞歸的近似數量r ，我們可以查看遞歸結束時n的重復sqrt()的最終值，比如m ，並建立一個具有以下邏輯的方程：

m是應用的結果sqrt()到n為r倍

因此，

(..(m^2)^2)^2 ... )^2 = n  // `r` times of `^2`

IE

m^(2^r) = n

這意味着：

2^r = log(n)     // log base `m`

r = log(log(n))  // outer log base `2`

因此，時間復雜度為O(log(log(n))) 。

---

sqrtoccurrence(2, 10)           // 1
sqrtoccurrence(2, 100)          // 2
sqrtoccurrence(2, 1000)         // 3
sqrtoccurrence(2, 1000000)      // 4
sqrtoccurrence(2, Int.MaxValue) // 4

def log2(x: Double): Double = math.log(x) / math.log(2)

log2(log2(10))           // 1.732
log2(log2(100))          // 2.732
log2(log2(1000))         // 3.317
log2(log2(1000000))      // 4.317
log2(log2(Int.MaxValue)) // 4.954

Answer 2

從另一個答案我們有

T(n) = T(sqrt(n)) + C

現在讓

2^m = n

重寫

T(2^m) = T(sqrt(2^m)) + C
       = T(2^(m/2)) + C

讓我們定義一個新函數

S(m) = T(2^m)

然后

S(m) = T(2^m)
     = T(2^(m/2)) + C
     = S(m/2) + 2C

我們現在知道

S(m) = O(log m)

所以

T(n) = T(2^m) = S(m) = O(log m) = O(log log n)