在Coq中分割帶有聯合結論的前提

Question

我經常需要做“歸納加載”來證明Coq中的目標，在Coq中我可以通過歸納法同時證明多件事。

問題是，我經常遇到以下形式的歸納假設：

forall a1 ... an, 
  Premise1 -> Premise2 -> ... Premisek -> 
  Conclusion1 /\ Conclusion2 /\ ... Conclusion_m

很好，但是像eauto這樣的策略確實不知道如何處理這樣的事情，因此它在大多數情況下會扼殺自動化。

我想知道的是，有沒有一種方法可以自動將這樣的前提分解為m不同的前提，即

forall a1 ... an, 
  Premise1 -> Premise2 -> ... Premisek -> 
  Conclusion1
  ...
forall a1 ... an, 
  Premise1 -> Premise2 -> ... Premise_k -> 
  Conclusion_m

我遇到的主要問題是我不知道如何與LTac中任意長度的箭頭鏈匹配。 我可以將代碼硬編碼到一定長度，但是我希望有更好的方法。

另外，如果有可能做對偶（即在Premise1 .. Premise_k中的所有析取的所有組合上拆分），這也將很有用。

Answer 1

我不是Ltac的專家，但是我嘗試了一下，並提出了以下策略。

Ltac decomp H :=
  try match type of H with
  context c [?A /\ ?B] =>
    let H' := fresh H in
    let Pa := context c[A] in
    assert (H' : Pa) by (apply H);
    let H'' := fresh H in
    let Pb := context c[B] in
    assert (H'' : Pb) by (apply H);
    clear H;
    rename H' into H;
    rename H'' into H';
    decomp H'
  end.

Tactic Notation "decomp_hyp" hyp(H) := decomp H.

decomp H搜索在連接詞的出現H ，然后將其分解成H'和H'' ，清潔狀態和遞歸調用自身。

在一個簡單的例子中，這似乎可行。

Answer 2

也許像這樣（減去調試打印輸出）？

Ltac foo :=
  match goal with
  |  |- forall q, ?X => 
       let x := fresh in intros x; idtac x q ; (try foo); generalize x as q; clear x

  |  |- ?X -> _ => 
       let x := fresh in intros x; idtac x  ; (try foo); generalize x; clear x

  |  |- _ /\ _ => repeat split
  end; idtac "done".

Goal forall {T} (a1 a2 a3:T) P1 P2 P3 Q1 Q2 Q3, P1 a1 -> P2 a2 -> P3 a3 -> Q1 /\ Q2 /\ Q3.
  foo.  

這使您有了目標

3 subgoals (ID 253)

  ============================
  forall (T : Type) (a1 a2 a3 : T) (P1 P2 P3 : T -> Type) (Q1 : Prop),
  Prop -> Prop -> P1 a1 -> P2 a2 -> P3 a3 -> Q1

subgoal 2 (ID 254) is:
 forall (T : Type) (a1 a2 a3 : T) (P1 P2 P3 : T -> Type),
 Prop -> forall Q2 : Prop, Prop -> P1 a1 -> P2 a2 -> P3 a3 -> Q2
subgoal 3 (ID 255) is:
 forall (T : Type) (a1 a2 a3 : T) (P1 P2 P3 : T -> Type),
 Prop -> Prop -> forall Q3 : Prop, P1 a1 -> P2 a2 -> P3 a3 -> Q3