使用原始遞歸添加二進制自然數

Question

給定二進制自然數，零情況下為“兩次”情況，“兩次加一”情況。 如何使用原始遞歸表示添加（僅使用函數foldBNat ）？

-- zero | n * 2 | n * 2 + 1
data BNat = Z | T BNat | TI BNat
  deriving (Show)

foldBNat :: BNat -> t -> (BNat -> t -> t) -> (BNat -> t -> t) -> t
foldBNat n z t ti =
  case n of
    Z -> z
    T m -> t m (foldBNat m z t ti)
    TI m -> ti m (foldBNat m z t ti)

div2 :: BNat -> BNat
div2 n = foldBNat n Z (\m _ -> m) (\m _ -> m)

pred :: BNat -> BNat
pred n = foldBNat n Z (\_ r -> TI r) (\m _ -> T m)

succ :: BNat -> BNat
succ n = foldBNat n (TI Z) (\m _ -> TI m) (\_ r -> T r)

Answer 1

點子：要計算a + b ，我們需要增加b a時代。 所以：

0 + b = b
1 + b = succ b
2 + b = succ (succ b)
3 + b = succ (succ (succ b))
...

我們可以從寫作開始

plus a b = foldBNat a b (\m r -> ...

但在這里我們遇到問題： m代表的半數a （因為a = T m在這里，即a = 2 * m ）和r是遞增的結果b m倍（即m + b ）。 我們無能為力。 我們想要的是a + b = 2*m + b ，我們不能直接從m + b獲得。 應用T只會給我們2 * (m + b) = 2*m + 2*b ，這太大了，根據規則我們不能直接遞歸plus計算m + (m + b) = 2*m + b 。

我們需要的是一種更直接的方法來操作succ操作的數量。

想法：不要直接計算數字; 而是計算一個函數（將其參數增加一定次數）。 所以：

incBy 0 = id
incBy 1 = succ
incBy 2 = succ . succ
incBy 3 = succ . succ . succ
...

我們可以直接實現：

incBy :: BNat -> (BNat -> BNat)
incBy n = foldBNat n id (\_ r -> r . r) (\_ r -> succ . r . r)

這里是r . r r . r給了我們兩次盡可能多增加一些功能r做（通過應用r兩次）。

現在我們可以簡單地將添加定義為：

plus :: BNat -> BNat -> BNat
plus n m = (incBy n) m

（這恰好是多余的，因為plus = incBy ）。