使用原始递归添加二进制自然数

Question

给定二进制自然数，零情况下为“两次”情况，“两次加一”情况。 如何使用原始递归表示添加（仅使用函数foldBNat ）？

-- zero | n * 2 | n * 2 + 1
data BNat = Z | T BNat | TI BNat
  deriving (Show)

foldBNat :: BNat -> t -> (BNat -> t -> t) -> (BNat -> t -> t) -> t
foldBNat n z t ti =
  case n of
    Z -> z
    T m -> t m (foldBNat m z t ti)
    TI m -> ti m (foldBNat m z t ti)

div2 :: BNat -> BNat
div2 n = foldBNat n Z (\m _ -> m) (\m _ -> m)

pred :: BNat -> BNat
pred n = foldBNat n Z (\_ r -> TI r) (\m _ -> T m)

succ :: BNat -> BNat
succ n = foldBNat n (TI Z) (\m _ -> TI m) (\_ r -> T r)

Answer 1

点子：要计算a + b ，我们需要增加b a时代。 所以：

0 + b = b
1 + b = succ b
2 + b = succ (succ b)
3 + b = succ (succ (succ b))
...

我们可以从写作开始

plus a b = foldBNat a b (\m r -> ...

但在这里我们遇到问题： m代表的半数a （因为a = T m在这里，即a = 2 * m ）和r是递增的结果b m倍（即m + b ）。 我们无能为力。 我们想要的是a + b = 2*m + b ，我们不能直接从m + b获得。 应用T只会给我们2 * (m + b) = 2*m + 2*b ，这太大了，根据规则我们不能直接递归plus计算m + (m + b) = 2*m + b 。

我们需要的是一种更直接的方法来操作succ操作的数量。

想法：不要直接计算数字; 而是计算一个函数（将其参数增加一定次数）。 所以：

incBy 0 = id
incBy 1 = succ
incBy 2 = succ . succ
incBy 3 = succ . succ . succ
...

我们可以直接实现：

incBy :: BNat -> (BNat -> BNat)
incBy n = foldBNat n id (\_ r -> r . r) (\_ r -> succ . r . r)

这里是r . r r . r给了我们两次尽可能多增加一些功能r做（通过应用r两次）。

现在我们可以简单地将添加定义为：

plus :: BNat -> BNat -> BNat
plus n m = (incBy n) m

（这恰好是多余的，因为plus = incBy ）。