尋找兩個圓的交點

Question

我試圖在 Python 中找到兩個圓圈之間的交點（使用 Matplotlib），但無法取回任何值。

我這樣做是通過為每個單獨的圓創建 X 和 Y 列表（Matplotlib 在繪制圓時將第一個參數作為 X 值，將第二個參數作為 Y 值），然后相應地與列表相交（例如，circle1 x 值與 circle2 x 值）。

import numpy
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import random

def origin_circle():
    global x_points
    global y_points
    global r
    global n
    r=1
    n=2**16
    x_points=[(r*math.cos(t)) for t in numpy.linspace(0, 2*numpy.pi*r, n+1)]
    y_points=[(r*math.sin(t)) for t in numpy.linspace(0, 2*numpy.pi*r, n+1)]

def new_circle(x_offset, y_offset):
    global x_points1
    global y_points1
    x_points1=[x_offset+(r*math.cos(t)) for t in numpy.linspace(0, 2*numpy.pi*r, n+1)]
    y_points1=[y_offset+(r*math.sin(t)) for t in numpy.linspace(0, 2*numpy.pi*r, n+1)]

origin_circle()
new_center= random.randint(0, len(x_points))
x_offset = x_points[new_center]
y_offset = y_points[new_center]
new_circle(x_offset, y_offset)
print(set(x_points1).intersection(set(x_points)))
print(set(y_points1).intersection(set(y_points)))

我希望取回值，但返回的集合是空的。

Answer 1

求解兩個圓的交點的正確方法是代數方法。 由於坐標系（實數）的無限精度，您不能使用點（x，y 坐標）來做到這一點。

如果兩個圓在兩個點相交，那么有一種直接的方法可以計算出這兩個交點。 Intersection of two circles部分詳細介紹了代數。

我們還可以消除兩個圓不相交的情況，如下所示

• 如果兩個圓原點之間的距離 > 兩個圓的半徑之和，則表示圓是分開的，因此不相交。
• 如果兩個圓原點之間的距離 < 兩個圓半徑之間的絕對差，則表示一個圓包含在另一個圓中，因此不相交。

返回兩個圓的兩個交點的代碼。 每個 cricle 由其中心 (x,y) 和半徑 (r) 描述

def get_intersections(x0, y0, r0, x1, y1, r1):
    # circle 1: (x0, y0), radius r0
    # circle 2: (x1, y1), radius r1

    d=math.sqrt((x1-x0)**2 + (y1-y0)**2)
    
    # non intersecting
    if d > r0 + r1 :
        return None
    # One circle within other
    if d < abs(r0-r1):
        return None
    # coincident circles
    if d == 0 and r0 == r1:
        return None
    else:
        a=(r0**2-r1**2+d**2)/(2*d)
        h=math.sqrt(r0**2-a**2)
        x2=x0+a*(x1-x0)/d   
        y2=y0+a*(y1-y0)/d   
        x3=x2+h*(y1-y0)/d     
        y3=y2-h*(x1-x0)/d 

        x4=x2-h*(y1-y0)/d
        y4=y2+h*(x1-x0)/d
        
        return (x3, y3, x4, y4)

讓我們通過繪圖來測試它（視覺上）

# intersection circles
x0, y0 = 0, 0
r0 = 5
x1, y1 = 2, 2
r1 = 5

# intersecting with (x1, y1) but not with (x0, y0)
x2, y2 = -1,0
r2 = 2.5

circle1 = plt.Circle((x0, y0), r0, color='b', fill=False)
circle2 = plt.Circle((x1, y1), r1, color='b', fill=False)
circle3 = plt.Circle((x2, y2), r2, color='b', fill=False)

fig, ax = plt.subplots() 
ax.set_xlim((-10, 10))
ax.set_ylim((-10, 10))
ax.add_artist(circle1)
ax.add_artist(circle2)
ax.add_artist(circle3)

intersections = get_intersections(x0, y0, r0, x1, y1, r1)
if intersections is not None:
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections 
    plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], '.', color='r')
    
intersections = get_intersections(x0, y0, r0, x2, y2, r2)
if intersections is not None:
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections 
    plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], '.', color='r')

intersections = get_intersections(x1, y1, r1, x2, y2, r2)
if intersections is not None:
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections 
    plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], '.', color='r')

plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

輸出：

Answer 2

看看你生成了什么：

new_center= random.randint(0, len(x_points))
x_offset = x_points[new_center]
y_offset = y_points[new_center]
new_circle(x_offset, y_offset)

# I'm sorting these for easier visualization
print(sorted(x_points))
print(sorted(x_points1))

輸出：

[-1.0, -0.9807852804032304, -0.9807852804032304, -0.9238795325112868,
 -0.9238795325112867, -0.8314696123025455, -0.8314696123025453, -0.7071067811865477,
 -0.7071067811865475, -0.5555702330196022, -0.555570233019602, -0.38268343236509034,
 -0.3826834323650897, -0.19509032201612866, -0.1950903220161282,
 -1.8369701987210297e-16, 6.123233995736766e-17, 0.1950903220161283,
 0.19509032201612833, 0.38268343236508984, 0.38268343236509, 0.5555702330196018
, 0.5555702330196023, 0.7071067811865474, 0.7071067811865476, 0.8314696123025452,
 0.8314696123025452, 0.9238795325112865, 0.9238795325112867, 0.9807852804032303,
 0.9807852804032304, 1.0, 1.0]

[-2.0, -1.9807852804032304, -1.9807852804032304, -1.923879532511287,
 -1.9238795325112867, -1.8314696123025453, -1.8314696123025453, -1.7071067811865477,
 -1.7071067811865475, -1.5555702330196022, -1.555570233019602, -1.3826834323650903,
 -1.3826834323650896, -1.1950903220161286, -1.1950903220161282, -1.0000000000000002,
 -0.9999999999999999, -0.8049096779838717, -0.8049096779838717, -0.6173165676349102,
 -0.6173165676349099, -0.44442976698039816, -0.4444297669803977, -0.29289321881345265,
 -0.2928932188134524, -0.16853038769745476, -0.16853038769745476,
 -0.07612046748871348, -0.07612046748871326, -0.01921471959676968,
 -0.01921471959676957, 0.0, 0.0]

首先，您已經生成了獨立的坐標列表； 您沒有任何類型的協調對點。

其次，你沒有列出圓上的所有點：你不能，因為那是一個無限集。 相反，您生成了一個等間距的列表（好吧，每個x和y一個）沒有數學理由期望您將在任何兩個這樣的坐標之間進行精確匹配，更不用說碰巧選擇兩個點了每個圓圈恰好是交點。

你什么也得不到，因為你的列表沒有共同點。 如果要找到交點，則需要通過代數求解、逐次逼近或其他一些方法來實現。 例如，取兩個圓的差值並求解y == 0的方程。

Answer 3

如果您正在使用圓圈，獲得交點的正確方法是使用一些代數。 有四種可能的情況：不相交、一個相交（相切）、兩個相交和無限相交（它們是同一個圓）。我們重點關注兩個相交的情況。

從https://math.stackexchange.com/a/256123/647423你可以做的是獲得一個線性方程，它沿着穿過兩個交點的直線將 x 與 y 相關聯：

−2x(x1center−x2center)−2y(y1center−y2center) = (r1)^2−(r2)^2−((x1center)^2−(x2center)^2)−((y1center)^2−(y2center)^2).

由此您可以根據 x 獲得 y 的公式，然后將 y 代入您的圓公式之一以獲得 x 的二次方程式。 如果你不想實現二次方程求解器，你可以像這樣使用numpy.roots ：

root_array = np.roots(quadratic_coeff, linear_coeff, constant_coef)

Answer 4

上面繪制交點的代碼沒有正確繪制交點。 我已經調整了代碼來繪制它們如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import math

def get_intersections(x0, y0, r0, x1, y1, r1):
    # circle 1: (x0, y0), radius r0
    # circle 2: (x1, y1), radius r1

    d=math.sqrt((x1-x0)**2 + (y1-y0)**2)

    # non intersecting
    if d > r0 + r1 :
        return {}
    # One circle within other
    if d < abs(r0-r1):
        return {}
    # coincident circles
    if d == 0 and r0 == r1:
        return {}
    else:
        a=(r0**2-r1**2+d**2)/(2*d)
        h=math.sqrt(r0**2-a**2)
        x2=x0+a*(x1-x0)/d   
        y2=y0+a*(y1-y0)/d   
        x3=x2+h*(y1-y0)/d     
        y3=y2-h*(x1-x0)/d 
        x4=x2-h*(y1-y0)/d
        y4=y2+h*(x1-x0)/d
        return x3, y3, x4, y4

# intersection circles
x0, y0 = 0, 0
r0 = 5
x1, y1 = 2, 2
r1 = 5

# intersecting with (x1, y1) but not with (x0, y0)
x2, y2 = -1,0
r2 = 2.5

circle1 = plt.Circle((x0, y0), r0, color='b', fill=False)
circle2 = plt.Circle((x1, y1), r1, color='b', fill=False)
circle3 = plt.Circle((x2, y2), r2, color='b', fill=False)

fig = plt.figure(figsize = (10, 10)) 
plt.grid(True)
ax = fig.add_subplot(111)

ax.set_xlim((-10, 10))
ax.set_ylim((-10, 10))
ax.add_artist(circle1)
ax.add_artist(circle2)
ax.add_artist(circle3)

intersections1 = get_intersections(x0, y0, r0, x1, y1, r1)
print(intersections1)
if len(intersections1) > 0:
    print(intersections3)
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections1 
    #plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], 'o', color='r')
    ax.scatter([i_x3, i_x4],[i_y3, i_y4] ,marker ='X',s=300,alpha=1)

intersections2 = get_intersections(x0, y0, r0, x2, y2, r2)
print(intersections2)
if len(intersections2) > 0:
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections2 
    plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], 'o', color='r')
    ax.scatter([i_x3, i_x4],[i_y3, i_y4] ,marker ='X',s=300,alpha=1)

intersections3 = get_intersections(x1, y1, r1, x2, y2, r2)

if len(intersections3) > 0:
    print(intersections3)
    i_x3, i_y3, i_x4, i_y4 = intersections3 
    #plt.plot([i_x3, i_x4], [i_y3, i_y4], 'o', color='r')
    ax.scatter([i_x3, i_x4],[i_y3, i_y4] ,marker ='X',s=300,alpha=1)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

圖像中給出了輸出：

Answer 5

數學/幾何事物的錯誤語言。 這是更合適的語言（WL）中的樣子

 Circle @@@ Thread @ {RandomReal[{-1,1},{3,2}], RandomReal[{.5,1},3]} // 
 Graphics[{
    #, Red, 
    RegionIntersection @@@ #~Subsets~{2}
 }]&