高階多元導數

Question

在Python中是否有一種打包的方法來計算高階多元導數（使用有限差分，而不是符號計算）？

例如，如果f計算從R ^ 2到R的函數cos（x）* y，即f接受形狀2 numpy數組並返回浮點數（或shape ()數組），那么是否存在partial函數，使得partial([2,1])(f)計算函數（d ^ 2 / dx ^ 2）（d / dy）f = -cos（x）* 1從R ^ 2到R，例如

np.isclose(partial([2,1])(f)(0),1.0)

默認庫中有許多有限差分工具（“一種方法”太多了）：

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generation/scipy.misc.derivative.html https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generation/numpy.gradient.html https： //docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generation/scipy.optimize.approx_fprime.html https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generation/scipy .misc.central_diff_weights.html https://github.com/statsmodels/statsmodels/blob/master/statsmodels/tools/numdiff.py

但是，它們都不能處理多元函數和高階導數，即它們都不能處理上面的工作。

（也有https://pypi.org/project/numdifftools/，但這似乎不足以滿足我的要求。作者們沒有回答我的問題。）

自己編寫工具很容易。 然而，似乎很難做到這一點，即以准確和穩定的方式。 例如，對於小於1e-3網格寬度，即使對於上述簡單函數以及僅是二階混合導數，直接的遞歸實現也是不穩定的。

PS：我不是在要求數組的有限差異（ https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.diff.html和https://github.com/maroba/findiff會做到這一點）。 我需要在任意點上評估導數，而無需在完整的笛卡爾網格上計算函數的值。

Answer 1

有scipy.optimize._approx_derivative可以做到。 但是，這不是公共功能，因此，如果最終使用它，您將自己承擔責任。

Answer 2

您可以編寫包裝器並使用scipy.misc.derivative函數。

對於簡單的x，y導數，請使用此答案

對於向量導數，您可以定義g(t, (x, y), vector) = f((x,y) + t * vector) ，得出g'(0, args=((x,y), vector)) =所選向量方向上的方向導數

from scipy.misc import derivative

f = lambda x: x[0] * np.cos(x[1])

def vector_derivative(f, x0, vector, delta=1):
    def wrapper(x, x0, vector):
        return f(np.asarray(x0) + x * np.asarray(vector))
    return derivative(wrapper, 0, args=(x0, vector), dx=delta)

vector_derivative(f, [1, np.pi/2], [0, 1], delta=0.01)
>> -0.9999833334166673