是否有可能沿軸對ndarray進行linalg.multi_dot？

Question

首先，我有一組12（2x2）矩陣。

II = np.identity(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
PPP = (-II + 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PPM = (-II + 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2
PMM = (-II + 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMM = (-II - 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMP = (-II - 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPP = (-II - 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PMP = (-II + 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPM = (-II - 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2

目前，我有一個功能operator_groups ，它為每個j循環從該組中繪制一個隨機矩陣，並將其追加到列表sequence 。 然后，將所有j循環之間繪制的隨機矩陣用於進行一些計算，與此處的討論無關。 在j循環的末尾，列表sequence中元素的sequence被顛倒，然后執行linalg.multi_dot ，然后采用其linalg.multi_dot共軛（因此.conj().T ）

def operator_groups():
    return random.choice([II, X, Y, Z, PPP, PPM, PMM, MMM, MMP, MPP, PMP, MPM])


for i in range(1, sample_size+1, 1):
    sequence = []
    for j in range(1, some_number, 1):
        noise = operator_groups()
        """some matrix calculations here"""
        sequence.append(noise)
    sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T

現在，我希望通過在一個大矩陣中執行j循環來向量化i循環 。 現在， noise是從組中隨機采樣的N個矩陣的ndarray（而不是僅1個矩陣），每個矩陣表示j的迭代，但並行化。 代碼現在看起來像這樣。

def operator_groups(sample_size):
    return random.sample([II, X, Y, Z], sample_size)


sequence = []
for j in range(1, some_number, 1):
    noise = operator_groups(sample_size)
    sequence.append(noise)
sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T

現在，該sequence是多維數組，在將多維noise添加到sequence的正確順序時遇到了麻煩，然后又linalg.multidot了對sequence的逆執行linalg.multidot並采用其Hermitian共軛的問題。 在這種情況下，我想對與每個j循環相對應的每個j行的所有存儲的noise的倒數進行multi_dot處理。 如何才能做到這一點？

我將在下面提供一些“偽示例”，以使用j = 3進一步演示我的問題。為簡單起見，這里我僅“隨機繪制” X, Y, Z 。

非向量化情況：

i = 1
sequence = []
    j = 1
    noise = X (randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [X]
    j = 2
    noise = Y (randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [X, Y]
    j = 3
    noise = Z (randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [X, Y, Z]

    end of j loop
take reverse order: [Z, Y, X]
do multi_dot: [ZYX] (Note: dot products, not element-wise multiplication)
take conjugate and tranpose(to get Hermitian): [ZYX].conj().T = [ZYX.conj().T]

向量化案例（假設我是否在執行sample_size = 3）：

sequence = []
    j = 1
    noise = [X,Z,Y](randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [[X,Z,Y]]
    j = 2
    noise = [Z,Y,X] (randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [[X,Z,Y],
                [Z,Y,X]]
    j = 3
    noise = [Z,Z,X] (randomised)
    sequence.append(noise)
    sequence = [[X,Z,Y],
                [Z,Y,X],
                [Z,Z,X]]
    end of j loop
take reverse order: [[Z,Z,X],
                     [Z,Y,X],
                     [X,Z,Y]]
do multi_dot(along an axis,
which is what I have trouble with): [ZZX,ZYZ,XXY]
take conjugate and tranpose(to get Hermitian): 
[ZZX,ZYZ,XXY].conj().T = [ZZX.conj().T, ZYZ.conj().T, XXY.conj().T]

我希望這些例子能說明我的問題

Answer 1

使用您的兩個隨機選擇器：

In [13]: operator_groups()        # returns one (2,2) array                                                                                   
Out[13]: 
array([[-0.5+0.5j,  0.5-0.5j],
       [-0.5-0.5j, -0.5-0.5j]])
In [14]: operator_groups1(4)      # returns a list of (2,2) arrays                                                                           
Out[14]: 
[array([[0.+0.j, 1.+0.j],
        [1.+0.j, 0.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
        [ 0.+1.j,  0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
        [ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
        [0.+0.j, 1.+0.j]])]

您的循環創建一個數組列表：

In [15]: seq=[] 
    ...: for j in range(4): 
    ...:     seq.append(operator_groups()) 
    ...:                                                                                                     
In [16]: seq                                                                                                 
Out[16]: 
[array([[-0.5-0.5j, -0.5+0.5j],
        [ 0.5+0.5j, -0.5+0.5j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
        [0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[-0.5+0.5j, -0.5-0.5j],
        [ 0.5-0.5j, -0.5-0.5j]]), array([[-0.5-0.5j,  0.5-0.5j],
        [-0.5-0.5j, -0.5+0.5j]])]

可以將其賦予multi_dot以便進行順序multi_dot ：

In [17]: np.linalg.multi_dot(seq)                                                                            
Out[17]: 
array([[0.-1.j, 0.+0.j],
       [0.+0.j, 0.+1.j]])

如果使用groups選擇器構建序列，則會獲得列表列表：

In [18]: seq=[] 
    ...: for j in range(4): 
    ...:     seq.append(operator_groups1(3)) 
    ...:                                                                                                     
In [19]: seq                                                                                                 
Out[19]: 
[[array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
         [1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
         [1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
         [0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
         [0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]])]]
In [20]: len(seq)                                                                                            
Out[20]: 4
In [21]: len(seq[0])                                                                                         
Out[21]: 3

我們可以“堆疊”內部列表，創建一個（n，2,2）個數組的列表：

In [22]: seq1 = [np.stack(el) for el in seq]                                                                 
In [23]: seq1                                                                                                
Out[23]: 
[array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]],

        [[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]],

        [[ 0.+0.j,  1.+0.j],
         [ 1.+0.j,  0.+0.j]]]), array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]],

        [[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]],

        [[ 0.+0.j,  1.+0.j],
         [ 1.+0.j,  0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j,  1.+0.j]],

        [[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]],

        [[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j,  1.+0.j]],

        [[ 1.+0.j,  0.+0.j],
         [ 0.+0.j, -1.+0.j]],

        [[ 0.+0.j, -0.-1.j],
         [ 0.+1.j,  0.+0.j]]])]

然后，我們可以在此列表上重復應用matmul ：

In [25]: res = seq1[0] 
    ...: for el in seq1[1:]: 
    ...:     res = res@el 
    ...:      
    ...:                                                                                                     
In [26]: res                                                                                                 
Out[26]: 
array([[[1.+0.j, 0.+0.j],
        [0.+0.j, 1.+0.j]],

       [[1.+0.j, 0.+0.j],
        [0.+0.j, 1.+0.j]],

       [[1.+0.j, 0.+0.j],
        [0.+0.j, 1.+0.j]]])

實際上， matmul就像dot一樣，但是它將前導維視為“批量”維。

使用隨機選擇時，比較不同的結果很麻煩（除非我設置了種子），所以我將驗證留給您。