常微分方程 - 在 python、jupyter 中具有未知初始值的 Odeint

Question

我正在嘗試用 python 中的 odeint 解決 ODE。 我正在做一個物理項目。 我的目標是當我輸入物質的速度、我的位置、着陸點時，在球坐標中計算軌跡的方向和角度。

例如，當我輸入參數 - 800m/s, (S50° E135°)（我的位置），向南 10 公里（着陸點）。 然后結果是這樣的 - 拍攝 180°（0° 是北），37° 的仰角。

當我知道初始值時，我可以計算軌跡，我可以計算結果和軌跡，但我不知道如何完成我的對象。

G=6.673*10**(-11)   # gravity constant
M=5.972*10**(24)    # mass of earth
R=6374916           # radius of earth
w=7.3*10**-5        # angular velocity of earth's ratation
L=np.pi*7/9         # my longitude
l=float(input('Input your latitude(-90~90):'))
m=float(input('Input direction(0~360):'))
d=float(input('How far do you want to fire?(In meter):'))
v=int(input('How fast your matter?(In m/s):'))
dt=l+d*np.sin(m/180*np.pi)/R    #target latitude
dp=L+d*np.cos(m/180*np.pi)/R    #target longitude

Enter some parameter so far

def nodrag(y,t):
    dydt0=y[1]
    dydt1=y[0]*(y[3]**2)+y[0]*(y[5]**2)*(np.sin(y[2])**2)-G*M/(y[0]**2)
    dydt2=y[3]
    dydt3=-2*y[1]/y[0]*y[3]+(y[5]**2)*np.sin(y[2])*np.cos(y[2])
    dydt4=y[5]
    dydt5=-2*y[1]/y[0]*y[5]-2*y[3]*y[5]*np.cos(y[2])/np.sin(y[2])
    return [dydt0,dydt1,dydt2,dydt3,dydt4,dydt5]
rlist=[]
thlist=[]
pilist=[]
ddp=[]
def ODE(azimuth,angle):
    yini=np.array([R,v*np.sin(angle),np.pi/2-l*np.pi/180,-v*np.cos(angle)*np.cos(azimuth)/R,np.pi*135/180,w+v*np.cos(angle)*np.sin(azimuth)/R])
    t=np.linspace(0,v,v*1000)
    result=odeint(nodrag,yini,t)
    r=result[:,0]     # value of radius
    th=result[:,2]    # value of theta
    pi=result[:,4]    # value of pi
    rr=list(r)   
    tt=list(th)
    pp=list(pi)       # change array to list
    for i in range (1,v*1000):
       if rr[i]<R:
          number=i
          break       # find time when it reach r=R again 
    for i in range (number,v*1000):
       tt.pop(-1)
       pp.pop(-1)     # remove extra
    thlist.append(tt[-1])
    pilist.append(pp[-1])  # save last values (r=R)
    move=dp+w*t[number]    # displacement of landing point of pi because of rotation of the earth
    ddp.append(move)

So far soving ODE, my next part is brute force

min=np.pi*2
for i in range (0,360):
    i=i/180*np.pi
    for j in range (0,91):
        j=j/180*np.pi
        ODE(i,j)             #calculate all directions
for k in range (0,32760):
    compare=np.arccos(np.sin(dt)*np.sin(thlist[k])*np.cos(ddp[k]-pilist[k])+np.cos(dt)*np.cos(thlist[k]))
    if compare<=min:
       min=compare
       azi=k//360
       ang=k-azi*360

這段代碼效率很低。 大約需要40分鍾

這是我的代碼示例 - 當我輸入一些初始值時。 但是如果我在初始值中放入一個未知值，odeint 將不起作用。 我該怎么辦？ 當我知道如何繼續時，我將迭代錯誤。

Answer 1

你有以下形式的問題，你知道posA和posB ，以及長度約束v0為velA 。 從A到B的時間是未知的。 您有一個函數derivs （在您的情況下保持通用，或nodrag ）來根據物理原理計算pos和vel的組合狀態的導數。

有了這個，您可以在區間 [0,1] 上設置邊界值求解器，使用參數T進行縮放以獲得具有可變端點的實際區間 [0,T]。 因此，如果u(s)=y(T*s)導數是u'(s)=T*y'(T*s)=T*derivs(T*s,u(s)) 。

def bvp_ode(s,u,T): return T*np.asarray(derivs(s*T,u))
def bvp_bc(uA,uB,T):
    pA, vA=uA[:3],uA[3:] # or uA[0::2],uA[1::2]
    pB, vB=uB[:3],uB[3:] # or uB[0::2],uB[1::2]
    return np.concatenate(pA-posA, pB-posB, [sum(velA**2)-v0**2])
s_init = [0,1]
u_init = np.asarray([np.concatenate(pos,[0,0,0]) for pos in (posA, posB) ]).T
T = 100 # or dist(posA,posB)/v0
res = solve_bvp(bvp_ode, bvp_bc, s_init, u_init, p=[T])
print(res.message)
T=res.p[0]
velA = res.y[3:,0]
print("T=",T,", velA=",velA)