python代碼求解以下初值問題常微分方程在區間上使用歐拉法(o 10)

Question

我有這個問題

編寫 python 代碼，使用歐拉法在區間 (o 10) 上以 10 個時間步長求解以下初值問題常微分方程。 A) y'= -y -y^2; y(0)=1 如果精確解是 y(t) = 1/(-1+2e^t) y(10) 處的絕對誤差是多少。 現在我已經寫了這段代碼

def pow_t(x,b):  
    t=1; 
    while (b):
        t*=x 
        b=b-1
    return t


def  absolute(): 
    y=[x for x in range(1,11)]
    
    h=0.0001 
    for i in range(1,10) :
       y[i]=y[i-1]+(h*(-1*y[i-1]-pow_t(y[i-1],2)))
       print("y",i,"=",y[i]) 
    
    exact = 0.0000227
    approx = y[9]
    absolute = exact - approx 
    print("abbsolute erroe = exact - approx ")
    print("abbsolute erroe = ",absolute)
   

print(absolute())

預期的 output 是這個

這是我得到的實際結果

我需要將 y 列表的第一個索引設置為 1，然后通過 for 循環填充列表的 rest，我該如何編碼？

Answer 1

如果您能在開始之前了解封閉式解決方案，這將很有幫助。

Equation: y' + y + y^2 = 0
Initial condition: y(0) = 1

這是一個伯努利方程。

封閉形式的解決方案是：

y(t) = e^C1 / (e^C1 - e^t)

應用初始條件求解常數 C1：

y(0) = e^C1 / (e^C1 - 1) = 1

你的初始條件不可能是正確的。 沒有滿足初始條件的常數。 請檢查並更正。

Answer 2

您的 output 基本上是正確的，但移動了 1 （例如，您的y10是預期的y9調用 y9 ）並且未四舍五入到小數點后 4 位。

解決這些問題的一種方法是：

y = 1
t = 0
h = 0.0001
iterates = [1]

for i in range(10):
    print(f'y{i} = {y:.4f}')
    y = y+h*(-y-y**2)
    iterates.append(y)
    t += h
print(f'y10 = {y:.4f}')

請注意，此代碼僅使用標量變量y作為 Euler 方法中的變量（而不是數組中的條目。最終是一個口味問題，但這樣代碼看起來更干凈。

output 是：

y0 = 1.0000
y1 = 0.9998
y2 = 0.9996
y3 = 0.9994
y4 = 0.9992
y5 = 0.9990
y6 = 0.9988
y7 = 0.9986
y8 = 0.9984
y9 = 0.9982
y10 = 0.9980

與預期的 output 匹配。