在 python 中使用歐拉法求微分的解

Question

我正在嘗試使用歐拉方法在某個點找到微分方程的解，但我得到了錯誤的答案。 請參閱下面的代碼：

#Intial conditions
x0, y0 = 0, 1

h = 0.1 #step size
x_end = 1.0 #the value of x for which we want to know y

##The ODE function
def f(x,y):
    return 1/(1 + x*x)

x_arr = np.arange(x0, x_end + h, h)
y_arr = np.zeros(x_arr.shape)

y_arr[0] = y0

for i, x in enumerate(x_arr[:-1]):
    y_arr[i+1] = y_arr[i] + h*f(x, y_arr[i])

print("x array", x_arr)
print("y array", y_arr)

Output：

x array [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]

y array [1.         1.1        1.1990099  1.29516375 1.38690687 1.47311376
 1.55311376 1.62664317 1.69375727 1.75473288 1.8099815 ]

根據 python 解決方案，在 x = 1.0 時 y = 1.8099815 但我應該在 x = 1.0 時得到 y = 1.85998149722679。

難道我做錯了什么？ 我確信我正確地應用了歐拉方法。

Answer 1

不，您的結果對於步長是正確的。 您可以通過以下方式獲得縮短 10 步的結果

x = np.arange(0,1-1e-6,0.1); 
print(0.1*len(x), 1+0.1*sum(1/(1+x*x)))
## >>> 1.0    1.8099814972267896

另一個值用於x=1.1處的下一步

x = np.arange(0,1.1-1e-6,0.1); 
print(0.1*len(x), 1+0.1*sum(1/(1+x*x)))
## >>> 1.1    1.8599814972267898