python代码求解以下初值问题常微分方程在区间上使用欧拉法(o 10)

Question

我有这个问题

编写 python 代码，使用欧拉法在区间 (o 10) 上以 10 个时间步长求解以下初值问题常微分方程。 A) y'= -y -y^2; y(0)=1 如果精确解是 y(t) = 1/(-1+2e^t) y(10) 处的绝对误差是多少。 现在我已经写了这段代码

def pow_t(x,b):  
    t=1; 
    while (b):
        t*=x 
        b=b-1
    return t


def  absolute(): 
    y=[x for x in range(1,11)]
    
    h=0.0001 
    for i in range(1,10) :
       y[i]=y[i-1]+(h*(-1*y[i-1]-pow_t(y[i-1],2)))
       print("y",i,"=",y[i]) 
    
    exact = 0.0000227
    approx = y[9]
    absolute = exact - approx 
    print("abbsolute erroe = exact - approx ")
    print("abbsolute erroe = ",absolute)
   

print(absolute())

预期的 output 是这个

这是我得到的实际结果

我需要将 y 列表的第一个索引设置为 1，然后通过 for 循环填充列表的 rest，我该如何编码？

Answer 1

如果您能在开始之前了解封闭式解决方案，这将很有帮助。

Equation: y' + y + y^2 = 0
Initial condition: y(0) = 1

这是一个伯努利方程。

封闭形式的解决方案是：

y(t) = e^C1 / (e^C1 - e^t)

应用初始条件求解常数 C1：

y(0) = e^C1 / (e^C1 - 1) = 1

你的初始条件不可能是正确的。 没有满足初始条件的常数。 请检查并更正。

Answer 2

您的 output 基本上是正确的，但移动了 1 （例如，您的y10是预期的y9调用 y9 ）并且未四舍五入到小数点后 4 位。

解决这些问题的一种方法是：

y = 1
t = 0
h = 0.0001
iterates = [1]

for i in range(10):
    print(f'y{i} = {y:.4f}')
    y = y+h*(-y-y**2)
    iterates.append(y)
    t += h
print(f'y10 = {y:.4f}')

请注意，此代码仅使用标量变量y作为 Euler 方法中的变量（而不是数组中的条目。最终是一个口味问题，但这样代码看起来更干净。

output 是：

y0 = 1.0000
y1 = 0.9998
y2 = 0.9996
y3 = 0.9994
y4 = 0.9992
y5 = 0.9990
y6 = 0.9988
y7 = 0.9986
y8 = 0.9984
y9 = 0.9982
y10 = 0.9980

与预期的 output 匹配。