如何在 3D 表面上找到最接近該表面外點的點？

Question

我想用代數表達式在 R3 的表面上找到點 B

f(x,y) = x^3 + y^2,

給定點 A，所以點 B 在歐幾里德距離上最近，並且位於表面上。 [請注意，圖中的曲面不是 x^3 + y^2，僅用於說明目的]。

我不是 Matlab 用戶，但我看到函數fmincon或fminsearch可能是 J. BAEK、A. DEOPURKAR 和 K. REDFIELD（第 24 頁，附錄）在這篇可訪問的在線論文中所建議的方法。 或者，我想通過圍繞 A 點的半徑來參數化一個球體，並尋找它與表面的第一個切點，但這會產生更多的問題。

對於 fmincon 似乎第一件事是定義一個函數來最小化，這在數學上是歐幾里得距離：所以如果點 A 在矩陣中，並且對應於 A(:,1) 並且 B 被定義為(b1,b2,b3)，最小化公式為

(A(1,1) - b1)^2 + (A(2,1) - b2)^2 + (A(3,1) - b3)^2

與第一條評論一樣，由於 B 必須在表面上，因此約束條件將是

b3= b1^3 + b2^2。

我不知道如何在 Matlab 中將其形式化，也不知道我是否需要某個初始點來啟動該過程，或者 A 是一個有效的起點。

Answer 1

正如你所寫，這個問題可以用 fminsearch 解決。 前段時間我寫了一個代碼來解決你的問題，基於 NURB Toolbox for Matlab。 我只是為你的問題簡化了一點。 在這種情況下， surf 是表面函數的函數句柄。 如果你有一個比 [0, 0] 更好的起點，你可以改用它。

function Y = ProjectOnSurf(X,surf)
    %Computes the closest point to given point on a surface.
    f=@(lambda) norm(surf(lambda) - X)
    lambda=fminsearch(f,[0, 0]); %Find parameters for minimal distance
    Y=NurbEval(surf,lambda)'; %Solve function for parameters
end