如何在 3D 表面上找到最接近该表面外点的点？

Question

我想用代数表达式在 R3 的表面上找到点 B

f(x,y) = x^3 + y^2,

给定点 A，所以点 B 在欧几里德距离上最近，并且位于表面上。 [请注意，图中的曲面不是 x^3 + y^2，仅用于说明目的]。

我不是 Matlab 用户，但我看到函数fmincon或fminsearch可能是 J. BAEK、A. DEOPURKAR 和 K. REDFIELD（第 24 页，附录）在这篇可访问的在线论文中所建议的方法。 或者，我想通过围绕 A 点的半径来参数化一个球体，并寻找它与表面的第一个切点，但这会产生更多的问题。

对于 fmincon 似乎第一件事是定义一个函数来最小化，这在数学上是欧几里得距离：所以如果点 A 在矩阵中，并且对应于 A(:,1) 并且 B 被定义为(b1,b2,b3)，最小化公式为

(A(1,1) - b1)^2 + (A(2,1) - b2)^2 + (A(3,1) - b3)^2

与第一条评论一样，由于 B 必须在表面上，因此约束条件将是

b3= b1^3 + b2^2。

我不知道如何在 Matlab 中将其形式化，也不知道我是否需要某个初始点来启动该过程，或者 A 是一个有效的起点。

Answer 1

正如你所写，这个问题可以用 fminsearch 解决。 前段时间我写了一个代码来解决你的问题，基于 NURB Toolbox for Matlab。 我只是为你的问题简化了一点。 在这种情况下， surf 是表面函数的函数句柄。 如果你有一个比 [0, 0] 更好的起点，你可以改用它。

function Y = ProjectOnSurf(X,surf)
    %Computes the closest point to given point on a surface.
    f=@(lambda) norm(surf(lambda) - X)
    lambda=fminsearch(f,[0, 0]); %Find parameters for minimal distance
    Y=NurbEval(surf,lambda)'; %Solve function for parameters
end