SciPy：solve_bvp 問題二階差異。 等式

Question

試圖解決二階差異。 等式有 2 個邊界條件，我嘗試什么都沒有，我找不到一個教程，其中包含我表達中的所有/相似術語，至少對我來說，scipy 文檔並沒有真正解釋如何使用solve_bvp 清楚。

我有等式：y'' + 2/r * y' = A * y + b * y^3 其中 y 是 r 的函數。

我把它改寫如下：

y1 = y(r)

y2 = y1'

y2' = -2/r * y2 + y1(A + b * y1^2)

y'(0) = 0, y(r=10) = 常數

A、b 和常數是已知的。

我有以下代碼，但它似乎不起作用，如上所述，我對文檔有些困惑，因此將不勝感激！

def fun(x, y):
    return np.vstack((y[2], -2/x*y[1]+y[0]*(A+b*y[0]*y[0])))

def bc(ya, yb):
    return np.array([ya[2], yb[1]-constant])


x = np.linspace(1, 10, 10)
ya = np.zeros((3, x.size))
yb = np.zeros((3, x.size))

sol_1 = solve_bvp(fun, bc, x, ya)
sol_2 = solve_bvp(fun, bc, x, yb)

謝謝！

==========編輯======================== 有一個解析解，我已經計算過，它是只是看看我是否也能在數值上找到相同的解決方案，我認為主要問題是解決方案有兩個獨立的區域，一個是 r < R (in)，一個是 r > R (out)。 這導致兩種不同的解決方案（僅在各自的域中有效），條件是 y_in(R) == y_out(R) 和 y_in'(R) == y_out'(R)。 完整的 2 部分解決方案，其中半徑 = 1，a=99，b = 1 且常數 = 1，y(inf) = 常數

從 Lutz Lehmann 的解決方案中，它得到了正確的形狀（至少對於內部區域，雖然不是在正確的尺度上）。

我只是不確定您將如何編寫所有等價解決方案，我想甚至首先要獲得他們的解決方案，盡管 Lutz 的回答是正確方向上的一個驚人點。 謝謝

Answer 1

問題

• 方程的階數為 2，因此狀態向量的維數為 2，值始終為y[0] ，導數y[1] ，沒有y[2] ，可能是 Matlab 翻譯的殘余.

• 同樣在邊界條件中，沒有ya[2] ，導數值為ya[1] ，第二個中的函數值為yb[0] 。

• 初始解猜測必須具有相同數量的 2 狀態分量。

• 為什么用相同的數據計算兩個解決方案？

• 備注：沒有必要將返回值轉換為 numpy 類型，求解器無論如何都會檢查和轉換。

具有奇異性處理的 BVP 框架

ODE 在r=0處是奇異的，因此必須以特殊方式處理第一段。 均值定理給出

(y'(r)-y'(0))/r->y''(0)  for  r->0,

所以在那個極限r->0你得到

3*y''(0) = a*y(0) + b*y(0)^3`. 

這允許將第一條弧定義為

y(r) = y0 + (a*y0 + b*y0^3)*r^2/6
y'(r) = (a*y0 + b*y0^3)*r/3

最多訂購r³和r² 。 因此，如果您希望y(r)精度為1e-9 ，則第一段不應長於1e-3 。

不要試圖從y(h)和y'(h)的方程中消除y0以獲得連接ya[0]和ya[1] ，而是讓求解器也做這項工作並將y0作為參數添加到系統中. 那么邊界條件有 3 個槽對應於為參數添加的虛擬維度，可以自然地用方程y(h)=ya[0]和ya[1]=y'(h)和右邊界條件填充.

總而言之，您可以將系統定義為

h = 1e-3;

def fun(r, y, p):
    return  y[1], -2/r*y[1]+y[0]*(a+b*y[0]*y[0]) 

def bc(ya, yb, p):
    y0, = p
    yh = y0 + y0*(a+b*y0*y0)*h*h/6;
    dyh = y0*(a+b*y0*y0)*h/3
    return ya[0]-yh, ya[1]-dyh, yb[0]-c


x = np.linspace(h, 10, 10)
ya = np.zeros((2, x.size))

sol = solve_bvp(fun, bc, x, ya, p=[1])
print(sol.message,f"y(0)={sol.p[0]}");
plt.plot(sol.x, sol.y[0]);

以便使用示例參數a, b, c = -1, 0.2, 3你會得到一個收斂求解器調用y(0)=2.236081087849196和結果圖