使用 scipy solve_bvp 解決邊界值問題（擴散反應方程）

Question

我正在努力解決以下二階邊界值問題：

y'' + 2/x*y' + k**2.0*F(y) = 0

y(x=1)=1,  y'(x=0)=0

F(y) = -y or F(y) = -y*exp(AB*(1-y)/(1+B(1-y))

我以某種方式未能正確設置邊界條件。 我通過以下方式定義了F(y)=y和邊界條件的函數：

def fun(x, y, p):
 k = p[0]
 return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0],ya[1]])

y[0,:] = 1
y[1,0] = 0
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[40])

我應該得到的結果肯定是錯誤的，改變初始條件不會讓事情變得更好。 我認為我的問題是與 x=0 處的零梯度邊界條件有什么關系。 有誰知道我做錯了什么？

編輯：這里是一個 MWE，對於 k=0.01，它應該給出一個常數值 1。 但是對於 ak=5，x=0 處的值應該是大約。 0.06：

def fun(x, y, p):
     k = p[0]
     return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0]-1.0,yb[1]])

x = np.linspace(1e-3, 1, 100)
y = np.zeros((2, x.size))
y[0,:] = 1

from scipy.integrate import solve_bvp
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[1000])
x_plot = np.linspace(0, 1, 100)
y_plot = sol.sol(x_plot)[0]
plt.figure()
plt.plot(x_plot, y_plot)

Answer 1

考慮F(y)=y 。 那么很容易看出這個線性常微分方程的基解是sin(k*x)/x和cos(kx/x) 。 類似地，對於F(y)=-y一個得到sinh(k*x)/x和cosh(k*x)/x 。 這意味着大多數解決方案在x=0處具有奇點。 對於標准 ODE 求解器，這種奇點幾乎不可能開箱即用。 必須在奇點處幫助求解器，在距奇點一定距離處再次應用正常程序。

你能做的就是分析x=0的情況，稍微移開一點。 你通過差商極限得到

y''(0) + 2*y''(0) + k^2*F(y(0)) = 0

它允許您計算二次泰勒多項式。 因此[a, 1]使用 ODE 求解器使用奇點y(x)=y(0)-k**2/6*F(y(0))*x**2的延續解決[a, 1]上的問題[0,a] 。

將y0=y(0)作為參數最容易建立x=a處的邊界條件。 ODE 和 BC 函數則是

def ode(x,y,y0): return [ y[1], -2*y[1]/x - k**2*F(y[0]) ]
def bc(ya,yb,y0): y2 = -k**2*F(y0)/6; return [ ya[0] - y0 - y2*a**2, ya[1] - 2*y2*a, yb[0]-1 ]

在問題中討論的情況下，這給出了

a = 1e-2
def F(y): return -y

for k in [0.01, 5]:
    res = solve_bvp(ode, bc, [a,1], [[1,1], [0,0]], p=[1], tol=1e-5)
    print(f'k={k}: {res.message}, y0={res.p[0]}, theory: {k/np.sinh(k)}')
    if res.success:
        y0 = res.p[0]
        x = np.linspace(a,1,61);
        plt.plot(x, res.sol(x)[0])
        plt.plot([0], [y0],'o', res.x, res.y[0],'+', ms=4)
        plt.title(f'k={k}'); plt.grid(); plt.show()

結果

k=0.01：算法收斂到想要的精度。，y0=0.9999833335277726，理論：0.9999833335277757

k=5：算法收斂到想要的精度，y0=0.06738256929427147，理論：0.06738252915294544