使用 scipy solve_bvp 解决边界值问题（扩散反应方程）

Question

我正在努力解决以下二阶边界值问题：

y'' + 2/x*y' + k**2.0*F(y) = 0

y(x=1)=1,  y'(x=0)=0

F(y) = -y or F(y) = -y*exp(AB*(1-y)/(1+B(1-y))

我以某种方式未能正确设置边界条件。 我通过以下方式定义了F(y)=y和边界条件的函数：

def fun(x, y, p):
 k = p[0]
 return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0],ya[1]])

y[0,:] = 1
y[1,0] = 0
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[40])

我应该得到的结果肯定是错误的，改变初始条件不会让事情变得更好。 我认为我的问题是与 x=0 处的零梯度边界条件有什么关系。 有谁知道我做错了什么？

编辑：这里是一个 MWE，对于 k=0.01，它应该给出一个常数值 1。 但是对于 ak=5，x=0 处的值应该是大约。 0.06：

def fun(x, y, p):
     k = p[0]
     return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0]-1.0,yb[1]])

x = np.linspace(1e-3, 1, 100)
y = np.zeros((2, x.size))
y[0,:] = 1

from scipy.integrate import solve_bvp
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[1000])
x_plot = np.linspace(0, 1, 100)
y_plot = sol.sol(x_plot)[0]
plt.figure()
plt.plot(x_plot, y_plot)

Answer 1

考虑F(y)=y 。 那么很容易看出这个线性常微分方程的基解是sin(k*x)/x和cos(kx/x) 。 类似地，对于F(y)=-y一个得到sinh(k*x)/x和cosh(k*x)/x 。 这意味着大多数解决方案在x=0处具有奇点。 对于标准 ODE 求解器，这种奇点几乎不可能开箱即用。 必须在奇点处帮助求解器，在距奇点一定距离处再次应用正常程序。

你能做的就是分析x=0的情况，稍微移开一点。 你通过差商极限得到

y''(0) + 2*y''(0) + k^2*F(y(0)) = 0

它允许您计算二次泰勒多项式。 因此[a, 1]使用 ODE 求解器使用奇点y(x)=y(0)-k**2/6*F(y(0))*x**2的延续解决[a, 1]上的问题[0,a] 。

将y0=y(0)作为参数最容易建立x=a处的边界条件。 ODE 和 BC 函数则是

def ode(x,y,y0): return [ y[1], -2*y[1]/x - k**2*F(y[0]) ]
def bc(ya,yb,y0): y2 = -k**2*F(y0)/6; return [ ya[0] - y0 - y2*a**2, ya[1] - 2*y2*a, yb[0]-1 ]

在问题中讨论的情况下，这给出了

a = 1e-2
def F(y): return -y

for k in [0.01, 5]:
    res = solve_bvp(ode, bc, [a,1], [[1,1], [0,0]], p=[1], tol=1e-5)
    print(f'k={k}: {res.message}, y0={res.p[0]}, theory: {k/np.sinh(k)}')
    if res.success:
        y0 = res.p[0]
        x = np.linspace(a,1,61);
        plt.plot(x, res.sol(x)[0])
        plt.plot([0], [y0],'o', res.x, res.y[0],'+', ms=4)
        plt.title(f'k={k}'); plt.grid(); plt.show()

结果

k=0.01：算法收敛到想要的精度。，y0=0.9999833335277726，理论：0.9999833335277757

k=5：算法收敛到想要的精度，y0=0.06738256929427147，理论：0.06738252915294544