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[英]Solve system of coupled differential equations using scipy's solve_bvp
[英]Performance issue with Scipy's solve_bvp and coupled differential equations
我在尝试在 Python 3.8.3 中实现下面的耦合微分方程(也称为单模耦合方程)时遇到问题。 至于求解器,我使用的是 Scipy 的 function scipy.integrate.solve_bvp
,可以在此处阅读其文档。 我想求解复域中的方程,对于不同的传播轴值( z
)和不同的 beta 值( beta_analysis
)。
问题在于,与使用函数bvp4c
、 bvpinit
和bvpset
的 Matlab 中的等效实现相比,它非常慢(无法管理)。 评估两次执行的前几次迭代,它们返回相同的结果,除了生成的网格在 Scipy 的情况下要大得多。 网格有时甚至会饱和到最大值。
下面显示了要求解的方程以及边界条件 function。
import h5py
import numpy as np
from scipy import integrate
def coupling_equation(z_mesh, a):
ka_z = k # Global
z_a = z # Global
a_p = np.empty_like(a).astype(complex)
for idx, z_i in enumerate(z_mesh):
beta_zf_i = np.interp(z_i, z_a, beta_zf) # Get beta at the desired point of the mesh
ka_z_i = np.interp(z_i, z_a, ka_z) # Get ka at the desired point of the mesh
coupling_matrix = np.empty((2, 2), complex)
coupling_matrix[0] = [-1j * beta_zf_i, ka_z_i]
coupling_matrix[1] = [ka_z_i, 1j * beta_zf_i]
a_p[:, idx] = np.matmul(coupling_matrix, a[:, idx]) # Solve the coupling matrix
return a_p
def boundary_conditions(a_a, a_b):
return np.hstack(((a_a[0]-1), a_b[1]))
Moreover, I couldn't find a way to pass k
, z
and beta_zf
as arguments of the function coupling_equation
, given that the fun
argument of the solve_bpv
function must be a callable with the parameters (x, y)
. 我的方法是定义一些全局变量,但如果有更好的解决方案,我也将不胜感激。
我试图编码的分析 function 是:
def analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh):
s11_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
s21_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
initial_mesh = np.linspace(z[0], z[-1], 10) # Initial mesh of 10 samples along L
mesh = initial_mesh
# a_init must be complex in order to solve the problem in a complex domain
a_init = np.vstack((np.ones(np.size(initial_mesh)).astype(complex),
np.zeros(np.size(initial_mesh)).astype(complex)))
for idx, beta in enumerate(beta_analysis):
print(f"Iteration {idx}: beta_analysis = {beta}")
global beta_zf
beta_zf = beta * np.ones(len(z)) # Global variable so as to use it in coupling_equation(x, y)
a = integrate.solve_bvp(fun=coupling_equation,
bc=boundary_conditions,
x=mesh,
y=a_init,
max_nodes=max_mesh,
verbose=1)
# mesh = a.x # Mesh for the next iteration
# a_init = a.y # Initial guess for the next iteration, corresponding to the current solution
s11_analysis[idx] = a.y[1][0]
s21_analysis[idx] = a.y[0][-1]
return s11_analysis, s21_analysis
我怀疑这个问题与传递给不同迭代的初始猜测有关(请参阅analysis
函数中循环内的注释行)。 我尝试将迭代的解决方案设置为以下的初始猜测(这必须减少求解器所需的时间),但它甚至更慢,我不明白。 也许我错过了一些东西,因为这是我第一次尝试解决微分方程。
用于执行的参数如下:
f2 = h5py.File(r'path/to/file', 'r')
k = np.array(f2['k']).squeeze()
z = np.array(f2['z']).squeeze()
f2.close()
analysis_points = 501
max_mesh = 1e6
beta_0 = 3e2;
beta_low = 0; # Lower value of the frequency for the analysis
beta_up = beta_0; # Upper value of the frequency for the analysis
beta_analysis = np.linspace(beta_low, beta_up, analysis_points);
s11_analysis, s21_analysis = analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh)
关于如何提高这些功能的性能的任何想法? 提前谢谢大家,如果问题没有很好地表达,我很抱歉,我接受任何关于此的建议。
编辑:添加了一些关于性能和问题大小的信息。
coupling_equation
被调用次数的关系。 这一定是求解器内部操作的问题。 我通过打印一行检查了一次迭代中的调用次数,它发生在 133 次(这是最快的一次)。 这必须乘以 beta 的迭代次数。 对于分析过的,求解器返回了这个:11 次迭代求解,节点数 529。最大相对残差:9.99e-04 最大边界残差:0.00e+00
a
和z_mesh
的形状是相关的,因为 z_mesh 是一个向量,其长度与网格的大小相对应,由求解器在每次调用coupling_equation
方程时重新计算。 假设a
包含z_mesh
的每个点的行进波和回归波的幅度, a
的形状是(2, len(z_mesh))
。beta_analysis
中没有执行循环时发生(只是 beta 的中间值的solve_bvp
function)。 相反,Matlab 设法在大约 6 分钟内返回了整个问题的解决方案。 如果我将最后一次迭代的结果作为initial_guess
传递( analysis
function 中的注释行,则网格溢出的速度会更快,并且不可能进行多次迭代。基于半随机输入,我们可以看到有时会达到max_mesh
。 这意味着可以使用相当大a
z_mesh
和 arrays 调用coupling_equation
方程。 问题在于, coupling_equation
包含一个缓慢的纯 Python 循环,该循环在 arrays 的每一列上进行迭代。 您可以使用Numpy vectorization 大大加快计算速度。 这是一个实现:
def coupling_equation_fast(z_mesh, a):
ka_z = k # Global
z_a = z # Global
a_p = np.empty(a.shape, dtype=np.complex128)
beta_zf_i = np.interp(z_mesh, z_a, beta_zf) # Get beta at the desired point of the mesh
ka_z_i = np.interp(z_mesh, z_a, ka_z) # Get ka at the desired point of the mesh
# Fast manual matrix multiplication
a_p[0] = (-1j * beta_zf_i) * a[0] + ka_z_i * a[1]
a_p[1] = ka_z_i * a[0] + (1j * beta_zf_i) * a[1]
return a_p
与原始实现相比,此代码提供了类似的 output 与半随机输入,但在我的机器上大约快 20 倍。
此外,我不知道max_mesh
是否会因您的输入而变大,即使这是正常/有意的。 为了进一步减少执行时间,减小max_mesh
的值可能是有意义的。
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