需要切比雪夫多項式的高階導數

Question

我需要在所謂的 Chebyshev 網格的點處評估 Chebyshev 多項式的高階（最多 4 個）導數，

x(j)=cos(πj/N), j=0,...,N

有誰知道該怎么做？ 我嘗試了迭代方法，但它們太笨拙了。 我記得在舊報紙上看到過類似的東西，但現在找不到了。

任何幫助表示贊賞。

Answer 1

一種方法（盡管這可能是您拒絕的迭代方法）是使用遞歸：

T[n+1]'/(n+1) - T[n-1]'/(n-1) = 2T[n]   n>=2

這需要一個人能夠手動計算前 3 個多項式的導數，但是因為

T[0](x) = 1
T[1](x) = x
T[2](x) = 2*x*x-1

這很簡單。

遞歸中的系數與 x 無關，因此如果 T[j,k] 是第 j 個 Chebyshev 多邊形的第 k 個導數，我們可以很容易地對其進行微分，得到

T[n+1, k]/(n+1) - T[n-1,k]/(n-1) = 2T[n,k-1]    n>=2

所以代碼可能是：

compute the T[n,0] (ie the polynomials) at the point, for n=0..deg
initialise T[j,d] for j=0,1,2 and the required degrees
for j=1..deg
   use the recurrence to compute the remaining polynomials