使用主定理的二分搜索的時間復雜度及其遞歸關系

Question

什么是主定理？ 使用該定理得出的二分查找的時間復雜度如何？ 我想知道這個話題的確切解釋。 先感謝您！

Answer 1

主定理提供了一種明確的方法來確定各種具有大θ符號的分而治之算法的運行時間（給出最壞情況運行時間的嚴格上限和下限）。 許多分治算法在大小為 n 的輸入上的運行時間可以用遞歸方程 T(n) 來表示。 假設我們有：

• 對於足夠小的輸入，T(n) 是常數。
• 對於足夠大的輸入，T(n) = a*T(n/b) + f(n)，其中a是遞歸調用算法的子問題的數量，每個子問題的大小為n/b ，總非遞歸開銷的數量為f(n) 。 非遞歸開銷是算法在划分步驟和征服步驟中花費的。

現在，還考慮一個關鍵的 function：n^(log_b(a))，即 n 的 a 的 log base b 的冪。 給定遞歸方程，您可以計算出這是什么，因為您知道 a 和 b 是什么。

主定理本質上說：

1. 如果 f(n) 在多項式上小於 n^(log_b(a))，則算法運行時間與 n^(log_b(a)) 成正比。
2. 如果 f(n)=n^(log_b(a))，則算法運行時間與 n^(log_b(a))*log(n) 成正比
3. 如果 f(n) 在多項式上大於 n^(log_b(a))，則算法運行時間與 f(n) 成正比。

請注意，並非所有分治算法都有運行時間，對於某些a 、 b和f(n) ，它們可以以這種形式放置，但其中很多都可以 - 包括二進制搜索。

二進制搜索接受大小為 n 的輸入，花費恆定數量的非遞歸開銷來比較中間元素和搜索到的元素，將原始輸入分成兩半，並且僅在數組的一半上遞歸。 現在將其插入主定理，a=1，大小為 n/b 的子問題，其中 b=2，非遞歸開銷 f(n)=1。 計算臨界 function n^(log_b(a))= n^(log_2(1)) = n^0 = 1。所以，現在我們將 f(n)=1 與臨界 function n^(log_b(a) )=1。 它們是相等的，所以我們是主定理的情況 2。 因此，總運行時間與 n^(log_b(a))*logn=logn 成正比。