時間復雜度和 Master 定理

Question

我試圖更好地理解碩士定理和時間復雜度。 我在網上找到了一些我正在練習的例子。 我的工作正確嗎？

T(N) = 3T(N/3) + O(N)

將具有時間復雜度 Θ(n)，因為 log(base 3) 3 = 1。因此，Θ(n^1) + O(N) 簡化為 Θ(n)。

T(N) = 3T(2N/3) + O(1)

這個看不懂我知道這是 stooge 排序算法，但如果使用大師定理，a 和 b 不是都是 3，使 log(base 3) 3 = 1，使這個 Θ(n)？ 我知道這是不正確的，但我很難理解大師定理。

T(N) = 4T(N/2) + O(N)

會有時間復雜度 Θ(n^2)，因為 log(base 2) 4 = 2。那么，N^(log(base 2) 4) = N^2

T(N) = 2T(N/2) + O(N log(N))

在這里，我認為它只是 O(N log(N))，因為 log(base 2) of 2 是 1。

Answer 1

通過主定理：-

if 
T(n) = aT(n/b) + f(n^k)

if loga/logb > k  then T(n) = O(n^(loga/logb))

if loga/logb < k  then T(n) = O(n^k)

else T(n) = O(n*logn)

 1. a = 3 b = 3 k=0  loga/logb = 1 = k    hence T(n) = O(nlogn)
 2. a = 3 b = 3/2 k=0 log3/log(3/2) > 1 > k  hence T(n) = O(n^(log3/log(3/2)))
 3. a = 4 b = 2 k = 1 log4/log2 = 2 > 1  hence T(n) = O(n^2)

Answer 2

我們先詳細闡述一下主定理，分析一下你的四種情況。

在上圖中，它表明在每個級別的復雜度為：

我們總結所有級別的所有計算並得到總數：

那么我們只需要分析由乘法因子（或公比）確定的幾何級數的全函數： a/b^d 。

1. 如果共同比率大於 1，則最后一項將呈指數增長：
   當a/b^d > 1或d<log_b a時，這是大 O。

2. 如果公比小於 1，那么當a/b^d < 1或d > log_b a時，從第一項n^d開始會出現指數衰減，這是顯性項或大 O。

3. 如果公比等於 1，該級數將是一個常數序列，我們將所有項相加：
   

---

在您的情況 1 中，其中T(N) = 3T(N/3) + O(N) ，我們首先看到公比a/b^d = 3/3^1=1 。

對於您的情況 2 T(N) = 3T(2N/3) + O(1)它將是a/b^d = 3/(3/2)^0 = 3 > 1 （其中 a = 3, b = 3/2 和 d = 0)，因此大 O 將是： .

對於您的情況 3 T(N) = 4T(N/2) + O(N) a 為 4，b 為 2，d 為 1。

對於第四種情況T(N) = 2T(N/2) + O(N log(N))公比將小於 1，因為a/b^d = 2/2^1.x其中d > 1 ，那么幾何級數將呈指數衰減。 因此，第一項n log n將主導該系列，因此它將是大 O。

參考：

1. https://www.coursera.org/learn/algorithmic-toolbox