了解此轉換矩陣的工作原理

Question

我使用SFML 庫的 Transform 組件作為我的代碼的基礎，但我不明白它是如何工作的。 我們將它初始化為一個 3x3 矩陣，表示平移、旋轉和縮放，但隨后我們使用 4x4 矩陣來存儲它，並使用硬編碼的一些值。 從那開始，我無法理解后來的所有操作。

我正在尋找可以向我解釋這個腳本是如何工作的人。 提前致謝！

變換.h

class Transform
{
public:
    static const Transform Identity;

    Transform();
    Transform(
        float a00, float a01, float a02,
        float a10, float a11, float a12,
        float a20, float a21, float a22
    );

    const float* GetMatrix() const;
    Transform GetInverse() const;

    D3DXVECTOR2 TransformPoint(float x, float y) const;
    D3DXVECTOR2 TransformPoint(const D3DXVECTOR2& point) const;

    FloatRect TransformRect(const FloatRect& rectangle) const;

    Transform& Combine(const Transform& transform);

    Transform& Translate(float x, float y);
    Transform& Translate(const D3DXVECTOR2& offset);

    Transform& Rotate(float angle);
    Transform& Rotate(float angle, float centerX, float centerY);
    Transform& Rotate(float angle, const D3DXVECTOR2& center);

    Transform& Scale(float scaleX, float scaleY);
    Transform& Scale(float scaleX, float scaleY, float centerX, float centerY);
    Transform& Scale(const D3DXVECTOR2& factors);
    Transform& Scale(const D3DXVECTOR2& factors, const D3DXVECTOR2& center);

private:
    float _matrix[16];
};

Transform operator *(const Transform& left, const Transform& right);
Transform& operator *=(Transform& left, const Transform& right);
D3DXVECTOR2 operator *(const Transform& left, const D3DXVECTOR2& right);
bool operator ==(const Transform& left, const Transform& right);
bool operator !=(const Transform& left, const Transform& right);

變換.cpp

const Transform Transform::Identity;

Transform::Transform()
{
    _matrix[0] = 1.f; _matrix[4] = 0.f; _matrix[8] = 0.f; _matrix[12] = 0.f;
    _matrix[1] = 0.f; _matrix[5] = 1.f; _matrix[9] = 0.f; _matrix[13] = 0.f;
    _matrix[2] = 0.f; _matrix[6] = 0.f; _matrix[10] = 1.f; _matrix[14] = 0.f;
    _matrix[3] = 0.f; _matrix[7] = 0.f; _matrix[11] = 0.f; _matrix[15] = 1.f;
}

Transform::Transform(
    float a00, float a01, float a02,
    float a10, float a11, float a12,
    float a20, float a21, float a22
)
{
    _matrix[0] = a00; _matrix[4] = a01; _matrix[8] = 0.f; _matrix[12] = a02;
    _matrix[1] = a10; _matrix[5] = a11; _matrix[9] = 0.f; _matrix[13] = a12;
    _matrix[2] = 0.f; _matrix[6] = 0.f; _matrix[10] = 1.f; _matrix[14] = 0.f;
    _matrix[3] = a20; _matrix[7] = a21; _matrix[11] = 0.f; _matrix[15] = a22;
}

const float* Transform::GetMatrix() const
{
    return _matrix;
}

Transform Transform::GetInverse() const
{
    float det = _matrix[0] * (_matrix[15] * _matrix[5] - _matrix[7] * _matrix[13]) -
        _matrix[1] * (_matrix[15] * _matrix[4] - _matrix[7] * _matrix[12]) +
        _matrix[3] * (_matrix[13] * _matrix[4] - _matrix[5] * _matrix[12]);

    if (det != 0.f)
    {
        return Transform((_matrix[15] * _matrix[5] - _matrix[7] * _matrix[13]) / det,
            -(_matrix[15] * _matrix[4] - _matrix[7] * _matrix[12]) / det,
            (_matrix[13] * _matrix[4] - _matrix[5] * _matrix[12]) / det,
            -(_matrix[15] * _matrix[1] - _matrix[3] * _matrix[13]) / det,
            (_matrix[15] * _matrix[0] - _matrix[3] * _matrix[12]) / det,
            -(_matrix[13] * _matrix[0] - _matrix[1] * _matrix[12]) / det,
            (_matrix[7] * _matrix[1] - _matrix[3] * _matrix[5]) / det,
            -(_matrix[7] * _matrix[0] - _matrix[3] * _matrix[4]) / det,
            (_matrix[5] * _matrix[0] - _matrix[1] * _matrix[4]) / det
        );
    }
    else
    {
        return Identity;
    }
}

D3DXVECTOR2 Transform::TransformPoint(float x, float y) const
{
    return D3DXVECTOR2(_matrix[0] * x + _matrix[4] * y + _matrix[12],
        _matrix[1] * x + _matrix[5] * y + _matrix[13]);
}

D3DXVECTOR2 Transform::TransformPoint(const D3DXVECTOR2& point) const
{
    return TransformPoint(point.x, point.y);
}

FloatRect Transform::TransformRect(const FloatRect& rectangle) const
{
    const D3DXVECTOR2 points[] =
    {
        TransformPoint(rectangle.left(), rectangle.top()),
        TransformPoint(rectangle.left(), rectangle.top() + rectangle.height()),
        TransformPoint(rectangle.left() + rectangle.width(), rectangle.top()),
        TransformPoint(rectangle.left() + rectangle.width(), rectangle.top() + rectangle.height())
    };

    float left = points[0].x;
    float top = points[0].y;
    float right = points[0].x;
    float bottom = points[0].y;

    for (int i = 1; i < 4; ++i)
    {
        if (points[i].x < left)   left = points[i].x;
        else if (points[i].x > right)  right = points[i].x;
        if (points[i].y < top)    top = points[i].y;
        else if (points[i].y > bottom) bottom = points[i].y;
    }

    return FloatRect(left, top, right - left, bottom - top);
}

Transform& Transform::Combine(const Transform& transform)
{
    const float* a = _matrix;
    const float* b = transform._matrix;

    *this = Transform(a[0] * b[0] + a[4] * b[1] + a[12] * b[3],
        a[0] * b[4] + a[4] * b[5] + a[12] * b[7],
        a[0] * b[12] + a[4] * b[13] + a[12] * b[15],
        a[1] * b[0] + a[5] * b[1] + a[13] * b[3],
        a[1] * b[4] + a[5] * b[5] + a[13] * b[7],
        a[1] * b[12] + a[5] * b[13] + a[13] * b[15],
        a[3] * b[0] + a[7] * b[1] + a[15] * b[3],
        a[3] * b[4] + a[7] * b[5] + a[15] * b[7],
        a[3] * b[12] + a[7] * b[13] + a[15] * b[15]);

    return *this;
}

Transform& Transform::Translate(float x, float y)
{
    Transform translation(1, 0, x,
        0, 1, y,
        0, 0, 1);

    return Combine(translation);
}

Transform& Transform::Translate(const D3DXVECTOR2& offset)
{
    return Translate(offset.x, offset.y);
}

Transform& Transform::Rotate(float angle)
{
    float rad = angle * 3.141592654f / 180.f;
    float cos = std::cos(rad);
    float sin = std::sin(rad);

    Transform rotation(cos, -sin, 0,
        sin, cos, 0,
        0, 0, 1);

    return Combine(rotation);
}

Transform& Transform::Rotate(float angle, float centerX, float centerY)
{
    float rad = angle * 3.141592654f / 180.f;
    float cos = std::cos(rad);
    float sin = std::sin(rad);

    Transform rotation(cos, -sin, centerX * (1 - cos) + centerY * sin,
        sin, cos, centerY * (1 - cos) - centerX * sin,
        0, 0, 1);

    return Combine(rotation);
}

Transform& Transform::Rotate(float angle, const D3DXVECTOR2& center)
{
    return Rotate(angle, center.x, center.y);
}

Transform& Transform::Scale(float scaleX, float scaleY)
{
    Transform scaling(scaleX, 0, 0,
        0, scaleY, 0,
        0, 0, 1);

    return Combine(scaling);
}

Transform& Transform::Scale(float scaleX, float scaleY, float centerX, float centerY)
{
    Transform scaling(scaleX, 0, centerX * (1 - scaleX),
        0, scaleY, centerY * (1 - scaleY),
        0, 0, 1);

    return Combine(scaling);
}

Transform& Transform::Scale(const D3DXVECTOR2& factors)
{
    return Scale(factors.x, factors.y);
}

Transform& Transform::Scale(const D3DXVECTOR2& factors, const D3DXVECTOR2& center)
{
    return Scale(factors.x, factors.y, center.x, center.y);
}

Transform operator *(const Transform& left, const Transform& right)
{
    return Transform(left).Combine(right);
}

Transform& operator *=(Transform& left, const Transform& right)
{
    return left.Combine(right);
}

D3DXVECTOR2 operator *(const Transform& left, const D3DXVECTOR2& right)
{
    return left.TransformPoint(right);
}

bool operator ==(const Transform& left, const Transform& right)
{
    const float* a = left.GetMatrix();
    const float* b = right.GetMatrix();

    return ((a[0] == b[0]) && (a[1] == b[1]) && (a[3] == b[3]) &&
        (a[4] == b[4]) && (a[5] == b[5]) && (a[7] == b[7]) &&
        (a[12] == b[12]) && (a[13] == b[13]) && (a[15] == b[15]));
}

bool operator !=(const Transform& left, const Transform& right)
{
    return !(left == right);
}

Answer 1

這是一個非常廣泛的問題，因此很可能被標記為“離題”

這里的關鍵見解是為什么將 3x3 矩陣編碼為 4x4。 這是由於使用了齊次坐標。 這是一個數學解決方案，它不僅允許您對仿射變換（如旋轉、縮放和平移）進行編碼，它還支持通常用於 3D 視圖的投影變換。 然后，您可以將所有 4x4 矩陣相乘，以將所有轉換連接成一個乘法。

在齊次坐標中以返回“3D”坐標，您執行 4-vector * 4x4-matrix 乘法，然后將結果除以“w”元素以使其返回 [xyz 1]。

組織 4x4 同質矩陣，以便將標准 3x3 矩陣嵌入其中。 這就是這個 ctor 所做的，例如：

Transform::Transform(
    float a00, float a01, float a02,
    float a10, float a11, float a12,
    float a20, float a21, float a22
)

這個庫的 memory 中矩陣的實際布局似乎有點奇怪，但這是作者的問題。

在大多數平台上，4x4 矩陣在 memory 中的對齊也比 3x3 矩陣更好，尤其是在使用通常為 2 寬或 4 寬浮點向量的 SIMD 操作時。 一些系統有 4x3 矩陣和隱含的 [0 0 0 1] 列/行，它們都提供了很好的 alignment 和更緊湊的仿射變換。

另請參閱DirectXMath及其SimpleMath包裝器，以獲取這種以圖形為中心的數學庫的另一個示例。

關於 3D 圖形有許多介紹性文本，它們都涵蓋了 3D 圖形轉換管道的基礎知識，使用 4x4 矩陣的齊次坐標。 如果您有訪問權限和方法，您可能會發現其中一個很有用。