如何使用 R 將紙上定義的統計模型“翻譯”到計算機上？

Question

我最初在stats.stackexchange.com上發布了這個問題，但由於專注於編程而被關閉。 希望我能在這里得到任何幫助。

為了簡單起見，我不會在這里放很多理論細節，但我的最終目標是使用R實現一個隱馬爾可夫模型。

雖然我對理論模型構建很好，但當我嘗試實現它時，我意識到我不了解計算統計的基本知識。 我的問題是朝着這個方向發展的。

讓 和 是隨機變量，使得 和 ， 和 和 . 如果 表示分布，我如何計算

使用R ?

我的意思是，這些分布（一種離散和一種連續）乘法的確切含義是什么？ 我怎樣才能使用R做到這一點？ 答案顯然是一個函數 ，但它是如何在我的代碼中表示的？

如果有什么變化 也是離散的？ 例如， ， 和 . 它將如何影響已實現的代碼？

我知道我的問題不是很具體，但我對如何開始感到非常迷茫。 我對這個問題的目標是了解如何將我寫在紙上的內容“翻譯”到計算機上。

Answer 1

翻譯

這些方程描述了如何計算X的概率分布，給定Y=y的觀測值以及參數p和sigma值。 最終，您希望實現一個函數p_X_given_Y ，該函數采用Y值並返回X的概率分布。 一個好的開始是實現表達式的 RHS 中使用的兩個函數。 就像是，

p_X <- function (x, p=0.5) { switch(as.character(x), "0"=p, "1"=1-p, 0) }

p_Y_given_X <- function (y, x, sigma=1) { dnorm(y, x, sd=sigma) }

請注意，這里p和sigma是任意選取的。 然后可以使用這些函數來定義p_X_given_Y函數：

p_X_given_Y <- function (y) {
  # numerators: for each x \in X
  ps <- sapply(c("0"=0,"1"=1), 
               function (x) { p_X(x) * p_Y_given_X(y, x) })

  # divide out denominator
  ps / sum(ps)
}

可以像這樣使用：

> p_X_given_Y(y=0)
#         0         1 
# 0.6224593 0.3775407

> p_X_given_Y(y=0.5)
#   0   1 
# 0.5 0.5 

> p_X_given_Y(y=2)
#         0         1 
# 0.1824255 0.8175745 

這些數字應該具有直觀意義（假設p=0.5 ）： Y=0更有可能來自X=0 ， Y=0.5同樣可能來自X=0或X=1等。這只是一種方式實現它，其中的想法是返回“X 的分布”，在這種情況下，它只是一個命名的數字向量，其中名稱（“0”、“1”）對應於 X 的支持，以及值對應於概率質量。

一些替代實現可能是：

• 一個p_X_given_Y(x,y)也為x取值並返回相應的概率質量
• 一個p_X_given_Y(y)返回另一個函數，該函數接受一個x參數並返回相應的概率質量（即概率質量函數）