Lambda演算和教堂數字混亂

Question

我正在努力理解lambda演算和教會數字的基礎知識。 我一直在做很多閱讀和練習，但我似乎一直在試圖看看一些功能是如何工作的。

我堅持的例子如下。 也許有人可以解釋我哪里出錯了。

1號教堂的數字可以表示為：

λf. λx. f x

教會數字（m ⁿ ）的取冪函數可以表示為：

λm. λn. n m

我想要做的就是通過將指數函數應用於1和1，我得到1，因為1 ¹ = 1.我這樣做，所以我更好地理解這些函數是如何工作的。 我的工作如下，每次都卡住了：

// Exp (1 1)
(λm. λn. n m) (λf1. λx1. f1 x1) (λf2. λx2. f2 x2)
// Substitute for m
(λn. n (λf1. λx1. f1 x1)) (λf2. λx2. f2 x2)
// Substitute for n
(λf2. λx2. f2 x2) (λf1. λx1. f1 x1)
// Substitute for f2
(λx2. (λf1. λx1. f1 x1) x2)
// Substitute for f1
λx2. (λx1. x2 x1)

在那里我被卡住了。 我已經失去了兩個f ，只留下了x ，我沒有回來。 我哪里錯了？

Answer 1

我哪里錯了？

無處！ 你完成了。 請記住，變量名稱並不重要; 這是重要的結構。 名稱f或x2沒有意義。 只關注它們的使用方式。 1號教堂的數字是

λf. λx. f x

你有

λx2. (λx1. x2 x1)

將x2重命名為f ，將x1重命名為x和voilà！ 你有

λf. (λx. f x)
= λf. λx. f x