如何用 lambda 術語中的教堂數字定義 function？

Question

如何用 lambda 術語表達以下 function ？

如果 n.= 0，則 f(n) = T。如果 n = 0，則為 F。

n 代表教堂數字。

我知道 0:= λf.λx.x 其中 λx.x 是恆等式 function 並且所有其他自然數都可以用 n:= λf.λx.f (f... (fx)) 表示，其中包含 fn 倍比 0 項。 例如 3:= λf.λx.f (f (fx))。

但是我怎樣才能為上面的 function 推導出一個有效的 λ 項呢？ 我想我也需要獲得 T/F。 因此我可以用 λf.(λxy.fxy) 來表示數字 n，對吧？ 但是F和T呢？ 以下是上述 function 的正確 λ 項嗎？ λf.(λxy.fxy(yFT)) 其中 T=λxy.x 且 F=λxy.y？

Answer 1

不，你得到了n的術語。 它是一個 function，需要兩個 arguments，一個f和一個z ：

isZero n = n ( ;; f, a function, expecting x
               ;;       or the result of (f (f ... (f x) ...))
               λx.
               ;; but we know what we want it to return, always: it is:
                  F    ;; false, for n is _not_ 0
             )
             ( ;; the initial x, in case n is ......... 0!
               ;; so we know what we want it to be, in case n is 0:
               T       ;; true, for n _is_ 0
             )

因此

isZero = λn.n(λx.F)T

如果n為 0， isZero n將返回T ； 否則， F ：

{0}(λx.F)T = T
{1}(λx.F)T = (λx.F)T = F
{2}(λx.F)T = (λx.F)((λx.F)T) = F
{3}(λx.F)T = (λx.F)((λx.F)((λx.F)T)) = F
....