如何用 lambda 术语中的教堂数字定义 function？

Question

如何用 lambda 术语表达以下 function ？

如果 n.= 0，则 f(n) = T。如果 n = 0，则为 F。

n 代表教堂数字。

我知道 0:= λf.λx.x 其中 λx.x 是恒等式 function 并且所有其他自然数都可以用 n:= λf.λx.f (f... (fx)) 表示，其中包含 fn 倍比 0 项。 例如 3:= λf.λx.f (f (fx))。

但是我怎样才能为上面的 function 推导出一个有效的 λ 项呢？ 我想我也需要获得 T/F。 因此我可以用 λf.(λxy.fxy) 来表示数字 n，对吧？ 但是F和T呢？ 以下是上述 function 的正确 λ 项吗？ λf.(λxy.fxy(yFT)) 其中 T=λxy.x 且 F=λxy.y？

Answer 1

不，你得到了n的术语。 它是一个 function，需要两个 arguments，一个f和一个z ：

isZero n = n ( ;; f, a function, expecting x
               ;;       or the result of (f (f ... (f x) ...))
               λx.
               ;; but we know what we want it to return, always: it is:
                  F    ;; false, for n is _not_ 0
             )
             ( ;; the initial x, in case n is ......... 0!
               ;; so we know what we want it to be, in case n is 0:
               T       ;; true, for n _is_ 0
             )

因此

isZero = λn.n(λx.F)T

如果n为 0， isZero n将返回T ； 否则， F ：

{0}(λx.F)T = T
{1}(λx.F)T = (λx.F)T = F
{2}(λx.F)T = (λx.F)((λx.F)T) = F
{3}(λx.F)T = (λx.F)((λx.F)((λx.F)T)) = F
....