如何使用指數遞歸 function 找到 x^63 的乘法數以及如何證明它的合理性？

Question

我如何 go 證明這個算法是 O(log n)？

public static long exponentiation(long x, int n){

    if(n == 0){
        return 1;
    }
    else if (n % 2 == 0){
        x = exponentiation(x, n / 2);
        return x * x; 
    }
    else{
        return x * exponentiation(x, n-1);
    }
}

Answer 1

對方法exponentiation的每個遞歸調用都是一個乘法步驟。 因此，您需要計算遞歸調用的數量。 有幾種方法可以實現這一點。 我選擇在方法中添加另一個參數。

public static long exponentiation(long x, int n, int count) {
    if (n == 0) {
        System.out.println("steps = " + count);
        return 1;
    }
    else if (n % 2 == 0) {
        x = exponentiation(x, n / 2, count + 1);
        return x * x; 
    }
    else {
        return x * exponentiation(x, n - 1, count + 1);
    }
}

這是對方法exponentiation的初始調用

exponentiation(2, 63, 0);

當我運行上面的代碼時，會打印以下內容

steps = 11

Answer 2

您也可以使用static計數器（無需更改函數原型）：

public static long counter = 0;

public static long exponentiation(long x, int n){
    if(n == 0){
        return 1;
    }
    else if (n % 2 == 0){
        x = exponentiation(x, n / 2);
        counter++;
        return x * x; 
    }
    else{
        counter++;
        return x * exponentiation(x, n-1);
    }
}

但是，您需要在每次調用 function 之前重置計數器，即設置counter = 0 。

理論分析

請注意，您需要向計數器證明它在O(log(n))中。 要證明復雜性，只需要通過查看代碼流來找到復雜性項即可。 假設T(n)是計算x^n的乘法次數。 因此，根據書面代碼，如果n是偶數，則T(n) = T(n/2) + 1 ，如果n是奇數，則T(n) = T(n-1) + 1 。 現在，至少在兩個連續遞歸之一中，輸入n是偶數。 因此，最多需要2 log(n)才能達到n = 0 。 因為，對於每個偶數輸入，下一個輸入將減半。 因此，我們可以得出結論，該算法在O(log(n))中。