我將如何編寫程序以根據角度圍繞球體旋轉，就像在它周圍走動一樣？

Question

我正在做一個項目，我需要（作為 2d 點）繞着 3d 球體走動。 我無法弄清楚如何在沒有極坐標失真的情況下實現這一目標。 基本上我想要向前、向后、向左和向右移動，以及向左轉和向右轉。 我一直在嘗試使用球坐標來實現這一點，但我的函數似乎不正確。 我該怎么做才能讓它發揮作用？ （我是在 JavaScript 中使用 p5.js 庫制作的）

目前，我正在嘗試將 x 和 y 變量分別映射到球面空間的 phi 和 theta。 但是，它似乎不起作用，而且我不確定如果正確實施，該點是否會在大圓圈中移動。

我還使用了一個角度變量，通過 (cos(A), sin(A)) 移動 x 和 y，但我不確定這是否有效。

我想我需要做的是與Great Circle Navigation有關，但我不了解其背后的數學原理。

鏈接到我當前的版本： https : //editor.p5js.org/hpestock/sketches/FXtn82-0k

當前代碼看起來像

var X,Y,Z;
X=0;
Y=0;
Z=0;

var A=0;

var scaler = 100;

var MOVE_FORWARD = true;
var MOVE_BACKWARD= false;
var MOVE_LEFT    = false;
var MOVE_RIGHT   = false;
var TURN_LEFT    = false;
var TURN_RIGHT   = false;

//var i=0;
var x = 0;
var y = 0;

function setup() {
  createCanvas(400, 400, WEBGL);
  x= 0;
  y= 0;
  A= 0;
  background(220);
}

function keyPressed(){
  if(key == "w"){
    MOVE_FORWARD = true;
  }else if(key == "ArrowLeft"){
    TURN_LEFT = true;
  }else if(key == "ArrowRight"){
    TURN_RIGHT = true;
  }
}

function keyReleased(){
  if(key == "w"){
    MOVE_FORWARD = false;
  }else if(key == "ArrowLeft"){
    TURN_LEFT = false;       
  }else if(key == "ArrowRight"){
    TURN_RIGHT = false;
  }
}

function draw() {
  
  if(MOVE_FORWARD){
    x+=0.005*cos(A);
    y+=0.005*sin(A);
  }
  if(TURN_LEFT){
    A+=PI/64;
  }
  if(TURN_RIGHT){
    A-=PI/64;
  }
  
  var xyz = Sph(1,y,x);
  X=xyz[0];
  Y=xyz[1];
  Z=xyz[2];
  background(220);
  sphere(scaler);
  push();
  translate(X*scaler,Y*scaler,Z*scaler);
  sphere(5);
  pop();
  
  /*i+=PI/32;
  if(i>2*PI){
     i=0;
     }*/
}

function Move(a,d){
  //
}

function Sph(p,t,h){
  //p = radius
  //t (theta) = 2d rotation
  //h (phi) = 3d roation
  return ([p*cos(h)*cos(t),p*cos(h)*sin(t),p*sin(h)]);
  
  //x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ, and z=ρcosφ
}

Answer 1

我不確定在極坐標中執行此操作的數學方法，但可以通過將位置和方向跟蹤為一對 3d 笛卡爾向量並使用Rodrigues 的旋轉公式向前移動（通過旋轉位置）和轉動（通過旋轉軸）。

 // position vector let pos; // axis of rotation let axis; let scaler = 150; function setup() { createCanvas(400, 400, WEBGL); background(220); pos = createVector(1, 0, 0); axis = createVector(0, 1, 0); fill('red'); noStroke(); } function draw() { if (keyIsDown(87) || keyIsDown(UP_ARROW)) { // move "forward" rotateVector(pos, axis, PI / 64); } if (keyIsDown(LEFT_ARROW)) { // turn left rotateVector(axis, pos, -PI / 64); } if (keyIsDown(RIGHT_ARROW)) { // turn right rotateVector(axis, pos, PI / 64); } ambientLight(100); directionalLight(200, 200, 200, 1, 1, -1); push(); translate(pos.x * scaler, pos.y * scaler, pos.z * scaler); sphere(5); pop(); } function rotateVector(v, axis, angle) { // v * cos(θ) + (axis ✕ v) * sin + axis * (axis · v) * (1 - cos) return v.mult(cos(angle)) .add(axis.copy().cross(v).mult(sin(angle))) .add(axis.copy().mult(axis.dot(v) * (1 - cos(angle)))); }

 <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/p5.js/1.4.0/p5.js"></script>

Answer 2

我不知道 javascript，但您可以實現以下功能（我在 python 中實現，希望您可以從中讀出它們背后的數學/幾何邏輯），允許您選擇球體上的運動方向，移動沿給定角度 ds 的台階沿大圓，並改變運動方向。 我假設運動在單位球面上（半徑為 1）。 如果沒有，您需要將代碼縮放到適當的半徑。

import numpy as np
import math

def direct(r, a):
'''
given position-vector r on the unit sphere and initial angle a, 
measured from the meridian, i.e. direction north being a = 0,
the result is the unit vector t pointing in that direction 
'''
  e_z = np.array([0,0,1]) 
  u = np.cross(e_z, r)
  u = u / math.sqrt(u.dot(u))
  v = np.cross(r, u)
  t = math.cos(a) * v + math.sin(a) * u
  return r, t

def move(r, t, ds):
'''
given unit position-vector r and unit direction vector t on the unit sphere, 
make a step of arclength ds radians from point r in the direction of t along
the great circle that passes through r and tangent to t. The result is the
new position r_ and the new direction vector t_ still tangent to the same
great circle.
'''
  co = math.cos(ds)
  cs = math.sin(ds) 
  r_ =  co * r + si * t
  t_ = -si * r + cs * t
  return t_, t_

def redirect(r, t, da):

'''
given unit position-vector r and unit direction vector t on the unit sphere, 
rotate the vector t at an angle da. 
The result is the new direction vector t_

when da > 0 redirect right
when da < 0 redirect left
'''
  rot_axis = np.cross(r, t)
  t_ = math.cos(da) * t - math.sin(da) * rot_axis
  return r, t_