KDE 與來自 scipy.integrate.quad 的奇怪行為和設置的帶寬的集成

Question

我正在尋找一種從繪制分布中獲取平均值（期望值）的方法，該分布用於擬合來自scipy.stats.gaussian_kde的 Kernel 密度估計。 我記得從我的統計數據 class 中，期望值只是 pdf(x) * x 從 -infinity 到無窮大的積分：

我使用scipy.integrate.quad function 在我的代碼中執行此任務，但我遇到了這種明顯奇怪的行為（這可能與 KDE 中的帶寬參數有關）。

問題

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
from scipy.stats import norm, gaussian_kde
from scipy.integrate import quad
from sklearn.neighbors import KernelDensity

np.random.seed(42)

# Generating sample data
test_array = np.concatenate([np.random.normal(loc=-10, scale=.8, size=100),\
np.random.normal(loc=4,scale=2.0,size=500)])


kde = gaussian_kde(test_array,bw_method=0.5)


X_range = np.arange(-16,20,0.1)

y_list = []

for X in X_range:

    pdf = lambda x : kde.evaluate([[x]])
    y_list.append(pdf(X))

y = np.array(y_list)    

_ = plt.plot(X_range,y)


# Integrate over pdf * x to obtain the mean
mean_integration_low_bw = quad(lambda x: x * pdf(x), a=-np.inf, b=np.inf)[0]

# Calculate the cdf at point of the mean
zero_int_low = quad(lambda x: pdf(x), a=-np.inf, b=mean_integration_low_bw)[0]

print("The mean after integration: {}\n".format(round(mean_integration_low_bw,4)))

print("F({}): {}".format(round(mean_integration_low_bw,4),round(zero_int_low,4)))

plt.axvline(x=mean_integration_low_bw,color ="r")
plt.show()

如果我執行此代碼，我會在計算的平均值處得到積分平均值和累積分布 function 的結果的奇怪行為：

第一個問題：在我看來，它應該總是顯示：F(Mean) = 0.5 還是我錯了？ （這只適用於對稱分布嗎？）

第二個問題：更奇怪的是，積分平均值的值不會因帶寬參數而改變。 在我看來，如果基礎分布的形狀不同，平均值也應該改變。 如果我將帶寬設置為 5，我會得到以下圖表：

如果曲線現在具有不同的形狀（由於帶寬更寬），為什么平均值仍然相同？

我希望這些問題不僅是由於我對統計數據的理解有缺陷而出現的；）

Answer 1

您的初始數據在此處生成

# Generating sample data
test_array = np.concatenate([np.random.normal(loc=-10, scale=.8, size=100),\
                             np.random.normal(loc=4,scale=2.0,size=500)])

因此，您有來自平均值為4的分布的500樣本和來自平均值為-10的分布的100樣本，您可以預測預期平均值(500*4-10*100)/(500+100) = 1.66666... 。 這與您的代碼給出的結果非常接近，並且與從第一個 plot 獲得的結果也非常一致。