這段代碼的 Big O 時間復雜度是多少？

Question

#include <stdio.h>

int F(int L[], int p, int q) {
    if (p < q) {
        int r, f1, f2;
        r = (p + q) / 2;
        f1 = 2 * F(L, p, r);
        f2 = 2 * F(L, r + 1, q);
        return f1 + f2;
    } else if (p == q) {
        return L[p] * L[p];
    }else{
        return 0;
    }
}

int main(void) {
    int arr[8] = {1,2,3,4,5,6,7};
    printf("%d", F(arr, 0, 7));
}

有人說這段代碼的時間復雜度是O(n) 。

我完全不明白...

不是O(logN)嗎？？？

Answer 1

答案：Big-O 復雜度為 O(N)

解釋：

該程序采用一定大小的范圍（即q - p + 1 ）並將該范圍切成兩半。 然后它在這兩個半范圍內遞歸調用 function。

該過程一直持續到范圍的大小為 1（即p == q ）。 然后就沒有遞歸了。

示例：考慮大小為 8 的起始范圍（例如p=0, q=7 ），然后您將得到

1 call with range size 8
2 calls with range size 4
4 calls with range size 2
8 calls with range size 1

因此，范圍大小大於 1 的 7 個調用（即 1+2+4）和范圍大小等於 1 的 8 個調用。總共 15 個調用，幾乎是起始范圍大小的 2 倍。

因此，對於范圍大小為 2 的冪，您可以概括為

Number of calls with range size greater than 1: 

    1+2+4+8+16+...+ rangesize/2 = rangesize - 1

Number of calls with range size equal to 1: 

    rangesize

因此，當范圍大小為 2 的冪時，將恰好有2 * rangesize - 1 function 次調用。

那就是 Big-O 復雜度 O(N)。

想嘗試一下嗎？

#include <stdio.h>

unsigned total_calls = 0;
unsigned calls_with_range_size_greater_than_one = 0;
unsigned calls_with_range_size_equal_one = 0;

int F(int L[], int p, int q) {
    ++total_calls;
    if (p < q) {
        ++calls_with_range_size_greater_than_one;
        int r, f1, f2;
        r = (p + q) / 2;
        f1 = 2 * F(L, p, r);
        f2 = 2 * F(L, r + 1, q);
        return f1 + f2;
    } else if (p == q) {
        ++calls_with_range_size_equal_one;
        return L[p] * L[p];
    }else{
        return 0;
    }
}

int arr[200] = {1,2,3,4,5,6,7};

int main(void) {
    
    for (int i=3; i < 128; i = i + i + 1)
    {
        total_calls=0;
        calls_with_range_size_greater_than_one=0;
        calls_with_range_size_equal_one=0;
        F(arr, 0, i);
        printf("Start range size: %3d -> total_calls: %3u calls_with_range_size_greater_than_one: %3u calls_with_range_size_equal_one: %3u\n", i+1, total_calls, calls_with_range_size_greater_than_one, calls_with_range_size_equal_one);
    }
    return 0;
}

Output：

Start range size:   4 -> total_calls:   7 calls_with_range_size_greater_than_one:   3 calls_with_range_size_equal_one:   4
Start range size:   8 -> total_calls:  15 calls_with_range_size_greater_than_one:   7 calls_with_range_size_equal_one:   8
Start range size:  16 -> total_calls:  31 calls_with_range_size_greater_than_one:  15 calls_with_range_size_equal_one:  16
Start range size:  32 -> total_calls:  63 calls_with_range_size_greater_than_one:  31 calls_with_range_size_equal_one:  32
Start range size:  64 -> total_calls: 127 calls_with_range_size_greater_than_one:  63 calls_with_range_size_equal_one:  64
Start range size: 128 -> total_calls: 255 calls_with_range_size_greater_than_one: 127 calls_with_range_size_equal_one: 128