這個特定函數的時間復雜度\\ big（O）是多少？

Question

該函數（f1）的時間復雜度是多少？

如我所見，第一個循環（i = 0）->（n / 4次）第二個循環（i = 3）->（n / 4-3次）....等等，結果是：（ n / 3）*（n / 4 +（n-3）/ 4 +（n-6）/ 4 +（n-9）/ 4 ....

我在這里停止，如何繼續？

int f1(int n){
  int s=0;
  for(int i=0; i<n; i+=3)
    for (int j=n; j>i; j-=4)
      s+=j+i;
  return s;
}

Answer 1

Big（O）表示法的重要之處在於它消除了“常量”。 目的是確定輸入量增長時的趨勢 ，而不必擔心特定數字。

可以將其視為在不知道x和y軸的數字范圍的圖形上確定曲線。

因此，在您的代碼中，即使您為每個循環的每次迭代都跳過了n范圍內的大多數值，這也是以恆定速率完成的。 因此，無論您實際上跳過了多少，這仍然相對於n^2縮放。

計算以下任何內容都沒有關系：

1/4 * n^2
0.0000001 * n^2
(1/4 * n)^2
(0.0000001 * n)^2
1000000 + n^2
n^2 + 10000000 * n

在Big O中，這些都等效於O(n^2) 。 關鍵是，一旦n 足夠大（無論大小如何），所有的低階項和常數因子在“全局”中都將變得無關緊要。

（ 值得強調的是，這就是為什么在小投入時，您應該警惕過分依賴Big O的原因。那時候，恆定的間接費用仍然會產生很大的影響。 ）

Answer 2

關鍵觀察：內部循環在步驟i執行(ni)/4次，因此在步驟ni i/4 。

現在將i = 3k, 3(k-1), 3(k-2), ..., 9, 6, 3, 0所有這些量求和，其中3k是n之前3的最大倍數（即3k <= n < 3(k+1) ）：

3k/4 + 3(k-1)/4 + ... + 6/4 + 3/4 + 0/4 = 3/4(k + (k-1) + ... + 2 + 1)
                                        = 3/4(k(k+1))/2
                                        = O(k^2)
                                        = O(n^2)

因為k <= n/3 <= k+1 ，因此k^2 <= n^2/9 <= (k+1)^2 <= 4k^2

Answer 3

理論上是“ O（n * n）”，但是...

如果編譯器想要對其進行優化，該怎么辦：

int f1(int n){
  int s=0;
  for(int i=0; i<n; i+=3)
    s += table[i];
  return s;
}

甚至這個：

int f1(int n){
  if(n <= 0) return 0;
  return table[n];
}

那么它也可以是“ O（n）”或“ O（1）”。

請注意，從表面上看，這種優化似乎是不切實際的（由於最壞情況下的內存成本）； 但是使用足夠先進的編譯器（例如，使用“整個程序優化”來檢查所有調用者並確定n始終在某個范圍內），這是不可想象的。 以類似的方式，並非所有調用方都使用常量（例如，在功能足夠先進的編譯器可以將x = f1(123);替換為x = constant_calculated_at_compile_time ）。

換一種說法; 實際上，原始函數的時間復雜度取決於該函數的使用方式以及編譯器的優劣。