Big-O中函數的時間復雜度

Question

我正在嘗試查找此函數的時間復雜度：

int bin_search(int a[], int n, int x); // Binary search on an array with size n.

int f(int a[], int n) {
    int i = 1, x = 1;
    while (i < n) {
        if (bin_search(a, i, x) >= 0) {
            return x;
        }
        i *= 2;
        x *= 2;
    }
    return 0;
}

答案是（log n）^ 2。 怎么會？
我能得到的最好是log n 。 首先， i是1 ，因此while將被運行log n次。
在第一次交互時，當i=1 ，二進制搜索將只有一個交互，因為數組的大小為1（i）。 然后，當i=2 ，將進行兩次交互，依此類推，直到log n交互。
所以我認為合適的公式就是這個 。
求和是針對一會兒的，內部方程式是因為對於i=1它是log(1) ，對於i=2它是log(2) ，依此類推，直到最后一個log(n) 。

我哪里錯了？

Answer 1

每次迭代都對數組的前2^i元素執行二進制搜索。

您可以計算操作數（比較）：

log2(1) + log2(2) + log2(4) + ... + log2(2^m)

log(2^n)等於n ，因此該系列簡化為：

0 + 1 + 2 + ... + m

其中m是floor(log2(n)) 。

該系列的計算結果為m * (m + 1) / 2 ，替換m得到

floor(log2(n)) * (floor(log2(n)) + 1) / 2

->  0.5 * floor(log2(n))^2 + 0.5 * floor(log2(n))

第一個元素主導第二個元素，因此復雜度為O(log(n)^2)