主值積分與 Python

Question

我正在嘗試將 function 與 python 集成。它有一個奇點，使用 scipy.integrate 我無法獲得令人滿意的結果（我也得到了 IntegrationWarning）。

到目前為止，這是我的代碼。 這是我第一次處理這樣的功能，我有點迷茫。

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def integrand(x):
    return -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x))

def cauchy_principal_value(f, a, b, singular_point):
    integral = quad(f, a, b, points=[a, singular_point, b],limit=1000)
    return integral

result = cauchy_principal_value(integrand, 0, np.pi, 2.0287665755744362)

print("Principal Value: ", result[0])

誰能幫我？

Answer 1

一般來說，積分程序在處理奇點時需要一些幫助。

在這里，如果您知道您想要一個主值，請使用weight="cauchy"告訴它quad （查找quad的文檔）。 這是一個快速而骯臟的演示：

In [32]: x0 = brentq(lambda x: x * np.cos(x) + np.sin(x), 1e-2, np.pi)

In [33]: quad(lambda x: -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x) * (x - x0)), 1e-4, np.pi, weight='cauchy', wvar=x0)
Out[33]: (-4.14269240855162, 1.4398780224416236e-08)

• 積分器需要一個 position 的奇點，所以用尋根器找到它（下面的brentq ）
• weight="cauchy"被積函數解釋為f(x) in f(x) / (x - c) 。 因此，計算展開並重新定義圍繞x0被積函數。 下面我乘以x - x0代替。
• 在 x->0 處有一個 0/0，因此理想情況下將被integrand function 重新定義為零。 在下面，我只是離開了x=0 。

Answer 2

scipy.integrate.quad function 是通用積分器，在處理奇點或高振盪函數時可能會遇到困難。 在您的情況下，您正在嘗試將 function 與奇點集成，這可能導致 IntegrationWarning 或不准確的結果。

要處理被積函數中的奇點，您可以使用 Cauchy 主值法。 這是您的代碼的更新版本：

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def integrand(x):
    return -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x))

def cauchy_principal_value(f, a, b, singular_point, **kwargs):
    def wrapped(x):
        if x == singular_point:
            return np.nan
        return f(x)
    
    integral = quad(wrapped, a, b, **kwargs)
    return integral

result = cauchy_principal_value(integrand, 0, np.pi, 2.0287665755744362)

print("Principal Value:", result[0])

在更新的代碼中，引入了一個包裝器 function wrapped 來處理奇點。 包裝器 function 為奇異點返回 np.nan 以指示被積函數未在該點定義。 如果需要，**kwargs 參數允許您將額外的 arguments 傳遞給 quad function。

通過使用這種方法，集成應該在不引發 IntegrationWarning 的情況下繼續進行。 讓我知道它是否有效。