使用貝塞爾曲線進行圓近似

Question

我有2個關於貝塞爾曲線的問題，並使用它們來近似圓的部分。

1. 給定單位圓弧（1,0） - >（cos（a），sin（a）），其中0 <a <pi / 2，它將導致該弧的良好近似，以找到貝塞爾曲線的控制點p1 ，p2通過求解要求B（1/3）=（cos（a / 3），sin（a / 3））和B（2/3）=（cos（2a / 3），sin（圖2a / 3））。 （換句話說，要求貝塞爾曲線穿過弧中兩個均勻間隔的點）。

2. 如果我們有一個仿射變換A，它將圓弧轉成橢圓弧，變換后的控制點Ap0，Ap1，Ap2，Ap3是否定義了橢圓弧的良好貝塞爾近似？

當然，p0和p3是曲線的起點和終點：（1,0）和（cos（a），sin（a））。

謝謝

Answer 1

這是任何橢圓弧作為三次貝塞爾曲線的一般解 。

誤差最大程度上取決於起始角度和結束角度的差異。 通過將角度差限制在60°，我取得了很大的成功。 也就是說，我每隔60°（或其一部分）制作一個單獨的立方體片段並將它們鏈接在一起。

Answer 2

你的問題基本上問“這是半圓形/橢圓弧的良好近似”。

您可能想要嘗試計算B_y(a) - sin(a) （當然，將參數化方程式設置為兩端以(-1,0)結束於a的相同值）對於曲線B(a) ，在圖形上諸如Wolfram Alpha之類的實用程序可以對其進行繪圖 ，並查看差異的大小，以及它是否適合您的目的。

如果您想要更精確和非直觀的答案，您可以計算

Integral (from 0 to K) [B_y(a) - sin(a)]^2 da / 2

其中K是兩個參數化曲線最終為(-1,0)的a的值。

該積分與標准偏差的某些測量值相關/比例（稍微），並且將很好地用作數值分析。 如果它在您期望的准確度范圍內，那么您就是好的。

如果你的轉換基本上是線性的，你的第二個問題，你提到一個圓與一個橢圓的仿射變換，將給你一個與你的原始誤差成比例的誤差。 如果沒有，您可以嘗試使用轉換的雅可比行列式來查看錯誤的變化情況。

我還發現了一個很好的半圓形Bezier逼近分析，作者發現了一個非常性感的近似值：

鑒於：

xValueInset = Diameter * 0.05
yValueOffset = radius * 4.0 / 3.0

P0 = (0,0)
P1 = (xValueInset, yValueOffset)
P2 = (Diameter - xValueInset, yValueOffset)
P3 = (Diameter, 0)

P1和P2是你的控制點。 請注意，這近似於半圓：

B(a) = [ (d/2)*cos(a)+d/2 , (d/2)*sin(a) ]