一階邏輯公式

Question

如果我想用一階邏輯表示“半徑最小的集合中的元素的值為0”，以下內容是否正確？

_{∀ë1∈S.∀e 2個}的∈S.半徑e _1≤半徑e _2⇒值e ₁ = 0？

變量是否正確量化？

謝謝

Answer 1

我想你想要一個存在

\n

\\存在e_1。 （\\ forall e_2 radius（e_1）<= radius（e_2））和（radius（e_1）= 0）

我不確定公式中的優先級，但是現在我想我理解了這個問題，也許您想要（其中M是極小值條件radius(e_1) < radius(e_2) ）

\\ forall e_1。 （（\\的forall E_2 M） - >值E_1 = 0）

我認為您的先前公式可能是錯誤的，原因如下。 假設您的元素的半徑為{0，1，2}，其值等於半徑。 然后，您將遇到1 <= 2，但該值不為零的情況。 如果我正確解釋了您的原始公式，

\\ forall e_1。 \\ forall e_2。 P（e_1，e_2）

然后，此反示例提供了一個情況，其中P為假，因此整個公式都失敗了（但該示例應該為真）。

Answer 2

為了清楚起見，您寫的通常是指：

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. (Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0))

該語句斷言每個元素的值為0。方法如下：選擇一個任意e1 ，現在選擇e2 = e1 ，我們得到： Radius e1 <= Radius e1 --> Value e1 = 0 。 由於前提條件（ -->之前的條件為真），因此我們的Value e1 = 0 。 並且由於我們沒有對e1進行任何假設，因此forall e \\in S. Value e = 0具有全部forall e \\in S. Value e = 0 。

問題是您的括號不正確。

\forall e1 \in S. (\forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2) --> Value e1 = 0

為了使先行詞現在是真實的， e1的半徑必須小於或等於每一個 （而不是任何）其他半徑，這似乎是你的原意。

Answer 3

如果沒有最小半徑的元素，則您編寫的內容也適用。 如果需要的話，那么您是正確的。 如果不是，則需要為此添加一個子句：

(\forall e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2 --> Value e1 = 0) \and (\exists e1 \in S. \forall e2 \in S. Radius e1 <= Radius e2)