使用零語言的CFG是否可以確定？

Question

如果我有一個上下文無關的語法G，使得G的語言為零，那么G是否可判定？

我知道答案是肯定的，但是我很難證明這一點。 我的第一個想法是說，只有一個狀態q1，它是圖靈機的開始狀態和接受狀態，它等效於G。該機器將不接受任何輸入，因為已達到接受狀態，所以立即停止並接受州。 這是可以接受的答案，還是我離開這里？

編輯：

就像喬爾（Joel）在下面說的那樣，我描述的語言接受所有字符串。 為了解決這個問題，我建議使用第二台機器G'。 G'具有3種狀態，即開始狀態q1，接受狀態q2和拒絕狀態q3。 在G'字母中的所有符號上，q1都轉換為q3，q2也是如此。 q1具有到q2的ε過渡。 因此，如果在送入G'的字符串中存在任何符號，則G'將拒絕。 如果沒有符號，則唯一的選擇是使epsilon轉換進入接受狀態。 聽起來怎么樣？

編輯：

事實證明上述解決方案可以接受語言L（G'）= {“”}。

Answer 1

正如您所說，答案是肯定的。 一個一般的證明是，對於給定的CFG G，您可以輕松地（很好地）構造一個TM使用該語法模擬派生的事實。 但是，您正在尋找空語言的簡短證明。 （在這種情況下，您擁有CFG的事實是無關緊要的。）

如果您可以構建始終針對給定語言L停止運行的TM，那么您就走上了正確的道路，那么L是可以確定的。 但是，您描述的機器實際上將接受每個字符串，即由字母上每個可能的字符串組成的語言。 這是因為，如果開始狀態也是接受狀態，那么圖靈機將在啟動時立即接受。 它不必讀取整個輸入字符串（或其中的任何部分）即可接受。

要定義不接受任何內容的TM，請使接受狀態集為空。 為了確保您的機器始終停止，轉換功能也可以為空。