Python特征向量：numpy.linalg，scipy.linalg和scipy.sparse.linalg之間的差異

Question

Scipy和Numpy在它們之間有三個不同的函數來尋找給定方陣的特征向量，它們是：

1. numpy.linalg.eig(a)
2. scipy.linalg.eig(a) ，和
3. scipy.sparse.linalg.eig(A, k)

特別關注我最后兩個留下的所有可選參數都保留默認值並且a / A是實值的情況，我很好奇這三個文檔之間的差異，這些差異在文檔中是模棱兩可的 - 尤其是：

• 為什么（3）有一個注釋，它找不到所有的特征向量？
• 為什么其他兩個必須計算所有解決方案 - 他們為什么不采取k參數？
• （1）有一個注釋說明特征值沒有特定的順序返回; （3）有一個可選參數來控制訂單。 （2）是否對此作出任何保證？
• （3）是否假設A稀疏？ （從數學上講，而不是表示為scipy稀疏矩陣）如果這個假設不成立，它可能是效率低下，甚至是錯誤的結果嗎？
• 在選擇這些時，我還應該考慮其他因素嗎？

Answer 1

第三個特殊行為與Lanczos算法有關 ， Lanczos算法適用於稀疏矩陣。 scipy.sparse.linalg.eig的文檔說它使用ARPACK的包裝器，后者又使用“隱式重啟的Arnoldi方法（IRAM），或者在對稱矩陣的情況下，使用Lanczos算法的相應變體。” （1） 。

現在，Lanczos算法具有對大特征值更有效的特性（事實上，它使用最大特征值）：

在實踐中，這種簡單的算法對於計算很多特征向量不能很好地工作，因為任何舍入誤差都會將更重要的特征向量的微小分量引入計算中，從而降低計算的准確性。 （2）

因此，雖然Lanczos算法只是一種近似，我猜其他兩種方法使用算法來找到確切的特征值 - 看起來所有這些都可能取決於所使用的算法。

Answer 2

以下是您問題的非常規特定部分的答案：

原則上，NumPy和SciPy linalg()例程應該是相同的。 兩者都在內部使用LAPACK和BLAS例程。 `'scipy.sparse``中的實現使用了一種適用於稀疏矩陣的特定算法（即，大多數為零條目的矩陣）。 如果基質密集，請不要使用此選項。

請注意，從技術上講，SciPy / NumPy中的eig()是不同的實現，因為兩個包都可以使用不同的Lapack / BLAS實現構建。 這里的常見選擇是標准的Lapack / BLAS，可從netlib， ATLAS ，Intel MKL或OpenBLAS獲得 。