通過DFS在圖形中查找強連接的組件

Question

我正在閱讀有關BFS和DFS的圖形算法。 當我分析通過DFS在Graph中查找強連接的組件的算法時，我想到了一個疑問。 為了找到強連接的組件，書（核心人員）做了什么，首先在圖上運行DFS以獲取頂點的完成時間，然后再次以結束時間的降序在圖的轉置上運行DFS。這是我們從第一個DFS獲得的。 但是我無法理解為什么必須根據完成時間運行第二個DFS。 我的意思是，即使我們直接在圖的轉置上運行DFS（忽略結束時間），它是否也可以為我們提供連接的組件，因為通過進行轉置，我們已經阻塞了通往其他組件的路徑。

Answer 1

編輯-這是斯坦福大學關於該主題的一些很好的深入視頻：

http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/CoursePage.php?course=IntroToAlgorithms （請參見6.直角圖的連接性）

我的解釋：

如果您沒有根據第一個dfs的完成時間減少來運行第二個dfs，則可能會將整個圖形錯誤地標識為單個強連接組件（SCC）。

請注意，在我的示例中，節點d始終比第一個dfs具有最少的完成時間。 節點a ， b或c將具有最高的完成時間。 假設a具有最高的完成時間，因此如果我們根據減少的完成時間運行第二個dfs，則a將是第一個。

現在，如果您從G的轉置中以節點d開始運行第二個dfs，則會生成一個包含整個圖的深度優先目錄林，因此得出結論，整個圖是SCC，這顯然是錯誤的。 但是，如果以a開頭dfs，則不僅會發現a ， b和c為SCC，而且重要的部分是它們將被標記為灰色或黑色， 以表示已訪問 。 然后，當您繼續在d上執行dfs時，就不會遍歷其SCC，因為您會意識到其相鄰節點已被訪問。

如果您查看DFS的cormens代碼，

DFS(G)
1 for each vertex u in G.V
2     u.color = WHITE
3     u.π = NIL
4 time = 0
5 for each vertex u in G.V
6     if u.color == WHITE
7         DFS-VISIT(G, u)

DFS-VISIT(G, u)
1 time = time + 1 // white vertex u has just been discovered
2 u.d = time
3 u.color = GRAY
4 for each v in G.adj[u]
5     if v.color == WHITE
6         v.π = u
7         DFS-VISIT(G, u)
8 u.color = BLACK // blacken u; it is finished
9 time = time + 1
10 u.f = time

如果您不使用減少完成時間，那么DFS的第6行將只適用一次，因為DFS-VISIT會遞歸訪問整個圖形。 這將在深度優先的林中生成一棵樹，並且每棵樹都是SCC。 單棵樹的原因是因為樹是由其前任為零的根節點標識的。