使用python求解非线性方程

Question

我从未使用过python，但Mathematica无法处理我要解决的方程式。 我正在尝试求解以下方程式的变量“ a”，其中s，c，mu和delt t是已知参数。

我尝试在Mathematica中执行NSolve，Solve等，但是已经运行了一个小时，没有运气。 由于我不熟悉Python，有没有一种方法可以使用Python来解决此方程？

Answer 1

你不会找到一个解析解这些方程，因为他们是超然的，包含a内部和三角函数之外。

我认为您在使用数字解决方案时遇到的麻烦是a的可接受值范围受arcsin约束。 由于arcsin仅为-1和1之间的参数定义（假设您希望a为实数），因此您的alpha和beta公式要求a > s/2和a > (sc)/2 。

在Python中，您可以使用brentq函数找到第三个方程的零（以f(a) = 0的形式重写）：

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0
def f(a):
    alpha = 2*np.arcsin(np.sqrt(s/(2*a)))
    beta = 2*np.arcsin(np.sqrt((s-c)/(2*a)))
    return alpha - beta - (np.sin(alpha)-np.sin(beta)) - np.sqrt(mu/a**3)*dt

a0 = max(s/2, (s-c)/2)
a = brentq(f, a0, 10*a0)

编辑：

为了阐明brentq(f,a,b)工作方式，是在间隔[a,b]上搜索f的零。 在这里，我们知道a至少是max(s/2, (sc)/2) 。 我只是猜测10次是合理的上限，并且对给定的参数有效。 更一般而言，您需要确保f在a和b之间改变符号。 您可以在SciPy文档中阅读有关该功能如何工作的更多信息。

Answer 2

我认为值得在尝试解决该功能之前先对其进行研究。 如果不这样做，您将不知道是否有独特的解决方案，很多解决方案或没有解决方案。 （最大的问题是许多解决方案，其中数值方法可能无法为您提供所需/期望的解决方案-如果您盲目使用它，则可能会发生“不好的事情”）。 您可以使用scipy和ipython很好地检查行为。 这是一个示例笔记本

# -*- coding: utf-8 -*-
# <nbformat>3.0</nbformat>

# <codecell>

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0

# <codecell>

def sin_alpha_2(x):
    return numpy.sqrt(s/(2*x))
def sin_beta_2(x):
    return numpy.sqrt((s-c)/(2*x))
def alpha(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_alpha_2(x),-0.99,0.99) )
def beta(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_beta_2(x),-0.99,0.99) )

# <codecell>

def fn(x):
    return alpha(x)-beta(x)-numpy.sin(alpha(x))+numpy.sin(beta(x)) - dt * numpy.sqrt( mu / numpy.power(x,3) )

# <codecell>

xx = numpy.arange(1,20000)
pylab.plot(xx, numpy.clip(fn(xx),-2,2) )

# <codecell>

xx=numpy.arange(4000,10000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

# <codecell>

xx=numpy.arange(8000,9000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

这表明我们期望找到一个介于8000和9000之间的解决方案。曲线中的奇数扭结在约5000处，而较早的解在约4000处，这是由于使反正弦表现为必需的削波。 实际上，在大约a = 5000以下，该方程式没有任何意义。 （精确值是Rays解决方案中给定的a0）。 然后，这提供了一个很好的范围，可以与Rays解决方案中的技术一起使用。