使用python求解非線性方程

Question

我從未使用過python，但Mathematica無法處理我要解決的方程式。 我正在嘗試求解以下方程式的變量“ a”，其中s，c，mu和delt t是已知參數。

我嘗試在Mathematica中執行NSolve，Solve等，但是已經運行了一個小時，沒有運氣。 由於我不熟悉Python，有沒有一種方法可以使用Python來解決此方程？

Answer 1

你不會找到一個解析解這些方程，因為他們是超然的，包含a內部和三角函數之外。

我認為您在使用數字解決方案時遇到的麻煩是a的可接受值范圍受arcsin約束。 由於arcsin僅為-1和1之間的參數定義（假設您希望a為實數），因此您的alpha和beta公式要求a > s/2和a > (sc)/2 。

在Python中，您可以使用brentq函數找到第三個方程的零（以f(a) = 0的形式重寫）：

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0
def f(a):
    alpha = 2*np.arcsin(np.sqrt(s/(2*a)))
    beta = 2*np.arcsin(np.sqrt((s-c)/(2*a)))
    return alpha - beta - (np.sin(alpha)-np.sin(beta)) - np.sqrt(mu/a**3)*dt

a0 = max(s/2, (s-c)/2)
a = brentq(f, a0, 10*a0)

編輯：

為了闡明brentq(f,a,b)工作方式，是在間隔[a,b]上搜索f的零。 在這里，我們知道a至少是max(s/2, (sc)/2) 。 我只是猜測10次是合理的上限，並且對給定的參數有效。 更一般而言，您需要確保f在a和b之間改變符號。 您可以在SciPy文檔中閱讀有關該功能如何工作的更多信息。

Answer 2

我認為值得在嘗試解決該功能之前先對其進行研究。 如果不這樣做，您將不知道是否有獨特的解決方案，很多解決方案或沒有解決方案。 （最大的問題是許多解決方案，其中數值方法可能無法為您提供所需/期望的解決方案-如果您盲目使用它，則可能會發生“不好的事情”）。 您可以使用scipy和ipython很好地檢查行為。 這是一個示例筆記本

# -*- coding: utf-8 -*-
# <nbformat>3.0</nbformat>

# <codecell>

s = 10014.6
c = 6339.06
mu = 398600.0
dt = 780.0

# <codecell>

def sin_alpha_2(x):
    return numpy.sqrt(s/(2*x))
def sin_beta_2(x):
    return numpy.sqrt((s-c)/(2*x))
def alpha(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_alpha_2(x),-0.99,0.99) )
def beta(x):
    return 2*numpy.arcsin( numpy.clip(sin_beta_2(x),-0.99,0.99) )

# <codecell>

def fn(x):
    return alpha(x)-beta(x)-numpy.sin(alpha(x))+numpy.sin(beta(x)) - dt * numpy.sqrt( mu / numpy.power(x,3) )

# <codecell>

xx = numpy.arange(1,20000)
pylab.plot(xx, numpy.clip(fn(xx),-2,2) )

# <codecell>

xx=numpy.arange(4000,10000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

# <codecell>

xx=numpy.arange(8000,9000)
pylab.plot(xx,fn(xx))

這表明我們期望找到一個介於8000和9000之間的解決方案。曲線中的奇數扭結在約5000處，而較早的解在約4000處，這是由於使反正弦表現為必需的削波。 實際上，在大約a = 5000以下，該方程式沒有任何意義。 （精確值是Rays解決方案中給定的a0）。 然后，這提供了一個很好的范圍，可以與Rays解決方案中的技術一起使用。