在有向图中找到最小平均重量的周期

Question

我正在寻找一种算法，该算法采用有向加权图（具有正整数权重），并在图中找到平均权重最小（而不是总权重）最小的循环。

基于类似的问题（但考虑总重量），我考虑对Floyd–Warshall算法进行修改，但是它依赖于以下属性，该属性不成立（感谢Ron Teller提供了一个反例来说明这一点）： “对于顶点U，V，W，如果存在从U到V的路径p1，p2，以及从V到W的路径p3，p4，则这些路径从U到W的最佳组合最好是p1， p2，然后是p3，p4中的较好者。”

我还可以考虑哪些其他算法不依赖此属性？

编辑 ：将以下不再相关的段落移至问题下方。

尽管此属性看起来很直观，但在两条同样需要的路径上似乎并不成立。 例如，如果p1的总重量为2，长度为2，而p2的总重量为3，长度为3，则任何一个都不比另一个好。 但是，如果p3和p4的总重量大于长度，则p2优于p1。 在我想要的应用程序中，每个边的权重都是正整数，因此可以强制使用此属性，我想我可以假设，在平局的情况下，越长的路径越好。 但是，我仍然不能证明这是可行的，因此我无法验证任何依赖它的算法的正确性。

Answer 1

“尽管该属性看起来很直观，但在两条同样需要的路径上似乎并不成立。”

实际上，当您考虑两个参数（权重，长度）时，它在任何情况下都不成立，这是一个示例，其中P1本身的平均值小于P2，有时对于最终解决方案可能会更好（示例1）或更糟（示例2），具体取决于P3和P4。

范例1：

L(P1) = 9, W(P1) = 10
L(P2) = 1, W(P2) = 1
L(P3) = 1, W(P3) = 1
L(P4) = 1, W(P4) = 1

范例2：

L(P1) = 9, W(P1) = 10
L(P2) = 1, W(P2) = 1
L(P3) = 5, W(P3) = 10
L(P4) = 5, W(P4) = 10

这两个参数会对无法局部确定的目标函数产生影响，因此经过任何修改的Floyd-Warshall算法将无法正常工作。

由于您仅考虑循环，因此您可能需要考虑采用蛮力算法来验证图中每个循环的平均重量。 您可以在多项式时间内完成，请参见： 在图中找到所有循环

Answer 2

我可以建议另一种算法。

让我们修复C。现在从所有权重中减去C。 答案将如何变化？ 如果从所有权重中减去相同的数字，则每个循环的平均权重将在相同的数字C上减小。现在让我们检查一下是否有负平均权重的循环。 平均体重为负的条件等于体重为负的条件。 因此足以检查我们是否拥有负重量的自行车。 我们可以使用Bellman-Ford算法来做到这一点。 如果我们有这样一个循环，则答案小于C。

现在，我们可以通过二进制搜索找到答案。 产生的复杂度将为O（VE log（MaxWeight））

Answer 3

您描述的问题称为最小平均周期问题 ，可以有效解决。 此外，还有一些非常好的优化理论可以检查您是否感兴趣（从标准参考AMO93开始）。