在有向图中检测周期

Question

我在这里阅读了关于在有向图中找到循环的讨论。 现在，OP声称我们需要验证两件事：

1. 从u到v有一个后沿
2. v在递归堆栈中

为什么我们需要第二次测试？ 您能举个例子证明它的必要性吗？

Answer 1

仅我们已经访问v的事实是不够的。 它允许我们从u转到v ，但不能从v转到u 。

简单的图形反例：

数字是遍历顺序。 我们的后缘为4到3，但没有任何循环。

Answer 2

好吧，您可能对有向图中的后沿定义和无向图中的后沿定义感到困惑。 是的，它们是不同的。

在无向图中，后边缘是从当前顶点到已访问的顶点的边缘。 （如您提到的链接中的OP）。
在有向图中，后边缘的定义不同。 有向图的后边缘是从当前顶点到GREY顶点的边缘（此顶点的DFS已开始但尚未完成），这意味着它仍在递归堆栈中。

因此，如果按照有向图中的方式定义后沿，则可以，它足以检测周期。
但是，如果您将后缘的定义定义为无向图中，那么您还需要确保v在递归堆栈中以检测循环。

见这个和这个以获取更多信息和示例。

例：
考虑DFS访问顺序为A -> B -> C
在此示例中，边<A,C>是带下划线的图中的后边（因为C已被访问）。
但这不是该有向图的后边缘-C已被访问但不在递归堆栈中，这意味着它不是循环。

Answer 3

当它是交叉边缘而不是后边缘时，需要进行第二次测试。 交叉边缘是指从一个顶点到一个已经访问过的顶点的一个边缘，与位置无关。 后边缘指的是指向起始顶点的祖先的一条边，该顶点仍在递归堆栈中。 就如何提出问题而言，OP将后边缘称为指向另一个已经访问过的边缘的边缘，但是更准确的解释是交叉边缘。 知道它是后边缘就足够了，因为这意味着第二步。 当第一个是交叉边缘时，需要执行这些步骤，因为第二个步骤证明了交叉边缘是后边缘。 在有向图中，交叉边缘并不总是意味着发生循环。 这是一个例子：

vertices a,b,c,d
a->b
a->c
b->d
d->c

根据处理顺序，可以将d->c视为交叉边缘，因此需要步骤2来检测循环。 不幸的是，后边缘和交叉边缘经常混合在一起，从而引起混乱。 这是指向两者之间差异的另一描述的链接，即深度优先搜索 。