在有向圖中檢測周期

Question

我在這里閱讀了關於在有向圖中找到循環的討論。 現在，OP聲稱我們需要驗證兩件事：

1. 從u到v有一個后沿
2. v在遞歸堆棧中

為什么我們需要第二次測試？ 您能舉個例子證明它的必要性嗎？

Answer 1

僅我們已經訪問v的事實是不夠的。 它允許我們從u轉到v ，但不能從v轉到u 。

簡單的圖形反例：

數字是遍歷順序。 我們的后緣為4到3，但沒有任何循環。

Answer 2

好吧，您可能對有向圖中的后沿定義和無向圖中的后沿定義感到困惑。 是的，它們是不同的。

在無向圖中，后邊緣是從當前頂點到已訪問的頂點的邊緣。 （如您提到的鏈接中的OP）。
在有向圖中，后邊緣的定義不同。 有向圖的后邊緣是從當前頂點到GREY頂點的邊緣（此頂點的DFS已開始但尚未完成），這意味着它仍在遞歸堆棧中。

因此，如果按照有向圖中的方式定義后沿，則可以，它足以檢測周期。
但是，如果您將后緣的定義定義為無向圖中，那么您還需要確保v在遞歸堆棧中以檢測循環。

見這個和這個以獲取更多信息和示例。

例：
考慮DFS訪問順序為A -> B -> C
在此示例中，邊<A,C>是帶下划線的圖中的后邊（因為C已被訪問）。
但這不是該有向圖的后邊緣-C已被訪問但不在遞歸堆棧中，這意味着它不是循環。

Answer 3

當它是交叉邊緣而不是后邊緣時，需要進行第二次測試。 交叉邊緣是指從一個頂點到一個已經訪問過的頂點的一個邊緣，與位置無關。 后邊緣指的是指向起始頂點的祖先的一條邊，該頂點仍在遞歸堆棧中。 就如何提出問題而言，OP將后邊緣稱為指向另一個已經訪問過的邊緣的邊緣，但是更准確的解釋是交叉邊緣。 知道它是后邊緣就足夠了，因為這意味着第二步。 當第一個是交叉邊緣時，需要執行這些步驟，因為第二個步驟證明了交叉邊緣是后邊緣。 在有向圖中，交叉邊緣並不總是意味着發生循環。 這是一個例子：

vertices a,b,c,d
a->b
a->c
b->d
d->c

根據處理順序，可以將d->c視為交叉邊緣，因此需要步驟2來檢測循環。 不幸的是，后邊緣和交叉邊緣經常混合在一起，從而引起混亂。 這是指向兩者之間差異的另一描述的鏈接，即深度優先搜索 。