Prim's和Kruskal's的应用，而不是找到MST

Question

我在Codechef中看到一个问题，目标是从图形中选择边缘，以使选定的边缘不形成循环，并且所有选定边缘的权重乘积最大。在社论中，认为prim和kruskal算法有效实际上，考虑到它可以使边缘的任何对称单调函数最大化。 那么对称单调函数到底是什么，以及在哪里可以使用此算法。

Answer 1

我想作者的意思是：

如果生成树的最终分数是f(w1, w2, ... wn) ，其中wi是边缘权重，则f在权重上应是单调的。 这意味着，如果您增加任何重量， f要么总是增加（单调增加），要么总是减小（单调减少）。 总和和乘积都单调增加：

f_sum (w1, w2, ... wn) = w1 + w2 + ... + wn
f_prod(w1, w2, ... wn) = w1 * w2 * ... * wn //non-negative-weights

对称是指顺序。 如果您可以确保f(..., wi, ..., wj, ...) = f(..., wj, ..., wi, ...)则f是对称的。 应该清楚为什么需要这样做。 任何MST算法都应该只关心选择哪些边，而不关心它们的顺序。 和和积都是可交换运算，因此是对称的。

之所以可行，是因为给定图的所有生成树都具有相同数量的边。 如果您贪婪地采用最大可用边（对于单调递增的函数）或最小边（对于单调递减的函数），则会自动使f最大化。

我知道的大多数应用程序都是MST的应用程序（主要是为了近似最佳解决方案）。 就概率模型而言，最大乘积可以指的是最大化最终概率，其中边缘表示然后合并的单独事件的概率。 我还没有偶然发现其他用于生成树的功能。