生成N个统一随机数，总和为1

Question

我正在尝试生成100个范围为[0.005，0.008]的统一随机数，总和为1。 我一直在寻找与自己的担忧相关的几个问题，但没有找到答案。 有人可以给我一个建议吗？

Answer 1

首先，我将稍微修改您的示例，假设100个变量以[0.008，0.012]为界，并且它们的总和为1（这可以确保您要采样的集合中有可行的点）。

“命中并运行”算法在n维空间的有界子集中统一采样。 对于您的情况，我们有n = 100个尺寸； 让我们定义相应的变量x_1, x_2, ..., x_100 。 然后，我们有三种类型的约束来限制我们要从中采样的空间区域。

变量的下限为0.008-可以通过以下线性不等式捕获：

x_1 >= 0.008
x_2 >= 0.008
...
x_100 >= 0.008

变量的上限为0.012-可以通过以下线性不等式捕获：

x_1 <= 0.012
x_2 <= 0.012
...
x_100 <= 0.012

变量的总和为1-可以通过以下方式捕获：

x_1 + x_2 + ... + x_100 = 1

假设我们要获取10组在我们的空间内均匀分布的变量。 然后，我们可以通过以下方式在R中使用hitandrun软件包：

library(hitandrun)
n <- 100
lower <- 0.008
upper <- 0.012
s <- 1
constr <- list(constr = rbind(-diag(n), diag(n), rep(1, n), rep(-1, n)),
               dir = rep("<=", 2*n+2),
               rhs = c(rep(-lower, n), rep(upper, n), s, -s))
samples <- hitandrun(constr, n.samples=10)
dim(samples)
# [1]  10 100

请注意，这要花很长时间（在我的情况下，不到2小时），因为我们是在高维空间（尺寸n = 100）中进行采样，并且要确保均匀采样，命中并运行算法实际上会执行O （n ^ 3）次迭代，绘制每个样本。 您可以通过调整函数的thin参数来减少运行时间，尽管这可能会影响绘制的独立性。

Answer 2

我的想法是逐步生成随机数。 在每个步骤中，请注意剩余的总和不要太小。 在最后一步中，这些随机数被随机排列：

N <- 100

lowerBound <- 0.008
upperBound <- 0.012
Sum        <- 1

X <- rep(NA,N)
remainingSum <- Sum

for (i in 1:(N-1))
{
  a <- max( lowerBound, remainingSum-(N-i)*upperBound )
  b <- min( upperBound, remainingSum-(N-i)*lowerBound )

  A <- ceiling(1e+8*a)
  B <- floor(1e+8*b)

  X[i] <- ifelse( A==B, A, sample(A:B,1)) / 1e+8

  remainingSum <- remainingSum - X[i]
}

X[N] <- remainingSum

X <- sample(X,N)

对于for -loop很抱歉，但这是基本的R解决方案，它似乎可以正常工作。

> sum(X)
[1] 1
> min(X)
[1] 0.00801727
> max(X)
[1] 0.01199241
> plot(X)

分布不完全相同，但是几乎是均匀的。 我重复了5000次计算，并将第n个样本存储在X[,n] ：

所有职位加在一起：

在下限和上限附近，频率增加，但是在下限之间的其余间隔中，该频率几乎恒定。

这是一个使分布更加均匀的想法：组合上下边界附近的一些数字并将它们“扔到中间”：

• 在下边界附近选择x1 ，在上边界附近选择x2 。 它们的平均值将大约是间隔的中心。
• 绘制一个随机数y ，以使y和x1+x2-y包含在间隔中。
• 用y和x1+x2-y替换x1和x2 。
• 重复直到边界的峰消失。

Answer 3

没有有关这些数字将用于什么目的的更多信息，问题就很模糊。 通过研究一些较低维的示例，我们可以看到“统一”在这里的含义很模糊。 如果计划将其用于基于蒙特卡洛的某种模拟，则获得的结果很可能不会有用。

让我们看一下n=4 ，约束[210,300]且总数为1000 。

我们生成（效率低下）与标准相符的所有离散值的详尽列表

values <- 210:300
df <- subset(expand.grid(a=values, b=values, c=values, d=values), a+b+c+d==1000)

由于对称，a，b，c和d的分布将相同。 分布看起来像

> plot(prop.table(table(df$a)), type='l')

随着尺寸的增加，这个问题只会变得更糟。 “求和为1”的要求具有将采样限制为N-1维超平面的效果，并且各个分量约束用于将可行的子集雕刻为多面体（基于N维超立方体与N维超立方体的交集）。平面嵌入N空间）。

在3维中，子空间看起来像是平面和立方体的交点； 中间是六边形，两端是三角形。 通过查看前两个主要成分的图即可轻松进行验证

> values <- 100:150; df <- subset(expand.grid(a=values, b=values, c=values), a + b + c==370); df2 <- as.data.frame(predict(princomp(df)))
> plot(df2$Comp.1, df2$Comp.2)

总而言之，在没有某种使用意图的知识的情况下，解决该问题比看起来要困难得多。

Answer 4

这是基于Metropolis-Hastings的改进解决方案。 请注意，由于您的限制，我还没有达到收敛； 但是，它非常接近：

simple_MH <- function(n= 100, low= 0.005, up= 0.02, max_iter= 1000000) {
  x <- runif(n, low, up)
  sum_x <- sum(x)
  iter <- 0

  if (sum_x == 1) return(x)
  else {
    while (sum_x != 1 & iter < max_iter) {
      iter <- iter + 1
      if (sum_x > 1) {
        xt <- sample(which(x > mean(x)), 1)  
      } else {
        xt <- sample(which(x < mean(x)), 1)
      }

      propose <- runif(1, low, up)
      d_prop <- dnorm(propose, 1 / n, sqrt(1/12 *(up - low)^2))
      d_xt   <- dnorm(x[xt], 1 / n, sqrt(1/12 *(up - low)^2))
      alpha <- d_prop / d_xt

      if (alpha >= 1) {
        x[xt] <- propose
        sum_x <- sum(x)
      } else {
        acc <- sample(c(TRUE, FALSE), 1, prob= c(alpha, 1-alpha))
        if (acc) {
          x[xt] <- propose
          sum_x <- sum(x)
        }
      }
    }
  }
  return(list(x=x, iter= iter))
}

# try it out:
test <- simple_MH() # using defaults (note not [0.005, 0.008])
test2 <- simple_MH(max_iter= 5e6)
R> sum(test[[1]]) # = 1.003529
R> test[[2]] # hit max of 1M iterations
R> sum(test2[[1]]) # = 0.9988
R> test2[[2]] # hit max of 5M iterations